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Leia o trecho de texto a seguir: "Na intenção de calcular ∫ d c ∫ h ( x ) g ( x ) f ( x , y ) d y d x , inicialmente integramos f ( x , y ) ...

Leia o trecho de texto a seguir: "Na intenção de calcular ∫ d c ∫ h ( x ) g ( x ) f ( x , y ) d y d x , inicialmente integramos f ( x , y ) em relação a y , mantendo x fixo. Os limites de integração g ( x ) e h ( x ) dependerão desse valor fixo de x , o que resultará na quantidade ∫ h ( x ) g ( x ) f ( x , y ) d y . E, então, integraremos quantidade posterior em relação a x , considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d ". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫ 2 − 1 ∫ 2 0 x 2 y 3 d y d x , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais: A 6 B 10 C 12 D 15 E 16

Respostas

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Para calcular a integral dupla ∫ 2 − 1 ∫ 2 0 x²y³ dy dx, devemos seguir os passos descritos no trecho de texto apresentado na pergunta. Primeiro, integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo: ∫ 2 0 x²y³ dy = [x²y⁴/4] de 0 a 2 = 2x² Agora, integramos a quantidade anterior em relação a x, considerando x uma variável entre os limites constantes de integração c e d: ∫ 2 − 1 2x² dx = [2x³/3] de -1 a 2 = (16/3) - (-2/3) = 18/3 = 6 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 6.

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