CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - Atividade N1

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CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - Atividade N1
Questão 01
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial .
Questão 02
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em:
Questão 03
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI).
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias,2003.  Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , .
Questão 4
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada.
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada.
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada.
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta
Questão 5
Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em .
Questão 6
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A solução da equação  é .
II. A solução da equação  é  .
III. A solução da equação  é .
IV. A solução da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
Questão 7
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função  é solução da equação diferencial .
II. A função  é solução da equação diferencial .
III. A função  é solução da equação diferencial .
IV. A função  é solução da equação diferencial .
 
É correto o que se afirma em:
Questão 8
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples, o qual pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após  segundos?
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
Questão 9
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de , uma indutância de  e uma voltagem constante de .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
Questão 10
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma , onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão .
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
I. A solução geral da equação  é .
II. A solução geral da equação  é .
III. A solução geral da equação  é .
IV. A solução geral da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
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