Calculo Aplicado_Varias Variaveis_funcoes de varias variaveis

Prévia do material em texto

10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 1/19
introdução
Introdução
CÁLCULO APLICADO - VARIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VARIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEISFUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Autora: Me. Talita Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 2/19
Caro aluno, nesta unidade, entraremos em um “mundo novo”, o mundo das várias variáveis. Se
re�etirmos, veremos que muitos elementos em nossa volta se descrevem através de funções de
duas ou mais variáveis. Desde exemplos simples, como a área de nossa residência, até exemplos
mais complexos, como a temperatura da atmosfera. Logo, o estudo sobre funções de várias
variáveis é fundamental.
Iniciaremos esta unidade abordando o comportamento do domínio e imagem de uma função de
várias variáveis, além disso, aprenderemos como esboçar seus grá�cos. Em seguida,
apresentaremos os conceitos do cálculo diferencial de várias variáveis, como a derivada direcional,
vetor gradiente e a regra da cadeia. Esses conceitos serão utilizados para funções de duas variáveis
reais, mas eles podem ser aplicados para várias variáveis.
Você perceberá que a maioria dos conceitos expostos nesta unidade recordam os conceitos vistos
no cálculo ordinário, podemos considerá-los como uma extensão deles. Por �m, resolva os
exemplos e exercícios propostos e pesquise exemplos em outras literaturas, que enriquecerão sua
aprendizagem!
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 3/19
Até o momento estudamos apenas funções de uma única variável. Porém, em nosso cotidiano,
dependemos de cálculos com várias variáveis. Consequentemente, muitas situações na área da
engenharia são descritas por funções de várias variáveis, como a resistência dos materiais, a
mecânica dos �uidos, a mecânica quântica e etc.
Diante disso, destacamos o estudo das funções reais de duas variáveis reais. Porém, todos os
conceitos podem ser aplicados para funções de três ou mais variáveis. Uma função f de duas
variáveis reais é uma relação que associa cada par ordenado (x,y) de um conjunto A a um único
valor real f(x,y), ou seja, f: A R² R. O conjunto A é denominado domínio de f, já o conjunto Img(f)
= {f(x,y); (x,y) A} é denominado imagem de f.
Por exemplo, considere a função de duas variáveis reais de�nida por . Para o par
ordenado (2,1), temos:
f(2,1) = = 3.
Note que f só não está de�nida nos pares ordenados (x,y) tais que x-y = 0, ou seja, nos pares (x,y)
com x = y. Portanto, o domínio de f é o conjunto A = {(x,y) R² ; x y}, e a imagem de f é Img(f) = {
; (x,y) A}, que pode ser reescrita como Img(f) = { ; x y com x, y R}.
Uma forma de visualizar como uma função de duas variáveis se comporta é esboçando seu grá�co.
O grá�co de uma função f: A R² R é dado pelo conjunto a seguir:
= { (x, y, z) R³; z = f(x,y), (x,y) A}.
Como podemos observar pela de�nição de , o grá�co de f é um subconjunto de R³.
Exempli�cando, o grá�co de f(x,y) = 6 - 3x -2y tem a equação 3x+2y+z=6, que representa um plano,
conforme esboço na Figura 2.1:
Funções de Várias Variáveis:Funções de Várias Variáveis:
Esboço de Grá�cosEsboço de Grá�cos
⊂ →
∈
f (x, y) =
x+y
x−y
2+1
2−1
∈ ≠
x+y
x−y
∈
x+y
x−y
≠ ∈
⊂ →
G f ∈ ∈
G f
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 4/19
Para desenharmos o plano 3x + 2y + z = 6, determinamos as interseções com os eixos. Considere
que y = z = 0, então x = 2, a partir disso obtemos o ponto (2, 0, 0), que é a intersecção do plano com
o eixo x. Em seguida, considere x = z = 0, encontramos a intersecção do plano com o eixo y no
ponto (0, 3, 0). Do mesmo modo, considerando x = y = 0, determinamos o ponto (0, 0, 6) que
intersecciona o eixo z e o plano. Na Figura 2.2, destacamos os pontos de intersecção com os eixos e
sombreamos o grá�co de f no primeiro octante.
A representação geométrica em um grá�co de uma função de duas variáveis, na maioria das vezes,
é trabalhosa. Para isso, temos o conceito de curvas de nível que nos auxilia visualizar
geometricamente o comportamento de uma função. A representação de uma curva de nível
costuma ser mais fácil de ser obtida, se comparada ao grá�co, pois uma curva de nível de uma
função f(x,y) é um subconjunto de R².
Dessa forma, considerando z = f(xy) e c elementos da imagem de f, chamamos de curva de nível de
f o conjunto de todos os pares (x,y) pertencentes ao domínio de f tais que f(x,y) = c. Por exemplo,
Figura 2.1 - Grá�co da função f(x,y) = 6 - 3x - 2y
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 2.2 - Grá�co da função f(x,y) = 6 - 3x - 2y no primeiro octante
Fonte: Elaborada pela autora.
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 5/19
considere a função h(x,y) = x² + y², como x²+y² 0 para qualquer par ordenado (x,y), temos que a
imagem de h é o conjunto dos números reais positivos.
Agora, considere c , a curva de nível correspondente a z = c é h(x,y) = c, ou seja, x²+y² = c. Mas
essa igualdade representa circunferências de centro na origem e raio . Se c = 0, a curva de nível
se reduz ao ponto (0,0). Podemos conferir a representação grá�ca dessa igualdade a seguir:
Por outro lado, considerando y = z = 0, obtemos x = 0, x = z = 0, y = 0 e x = y = 0, z = 0. Portanto, o
ponto (0,0,0) é o ponto de interseção com os três eixos. Na Figura 2.4 veremos que as curvas de
nível projetadas no eixo z se tornam os cortes horizontais do grá�co de h, ou seja, podemos
montar o grá�co de h a partir de suas curvas de nível.
≥
∈ R+
c√
Figura 2.3 - Curvas de nível da função h(x,y) = x²+y²
Fonte: Elaborada pela autora.
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 6/19
Para nos ajudar a visualizar as funções de duas variáveis gra�camente, podemos utilizar softwares.
Por exemplo, todas as imagens desta seção foram elaboradas com o auxílio do software GeoGebra.
Este software possui uma versão online e gratuita.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que as funções descrevem, através de modelos matemáticos, quase tudo que está a nossa volta.
E, muitos desses modelos são descritos por funções de várias variáveis. Por exemplo, a temperatura da
atmosfera e o volume de um cilindro circular.
Com base no que estudamos, assinale a alternativa correta.
a) O domínio da função f(x,y)= é dado pelo conjunto R² A = {(x,y) R² ; x 1}.
b) A imagem da função g(x,y)= é dada pelo intervalo [0,9].
c) O grá�co de g(x,y)= representa uma esfera de centro na origem e raio 3.
d) As curvas de nível da função g(x,y)= são dadas por circunferências de centro (0,0)
e raio 3.
e) A equação 3x+2y =0 é uma curva de nível para função f(x,y)=6-3x-2y para o ponto c=6.
reflita
Re�ita
Antes de iniciar os estudos desta unidade, você já sabia que funções de várias
variáveis descrevem eventos simples de nosso cotidiano? No início desta seção,
citamos exemplos presentes na área de engenharia, porém existem exemplos
simples de situações que são descritas por funções de várias variáveis. Por
exemplo, a área de um retângulo depende de duas quantidades: comprimento e
largura; o volume de um prisma retangular depende de três variáveis:
comprimento e largura da base e a altura do prisma. Além dos exemplos citados,
existem diversos outros. Quais funções de várias variáveis estão presentes em
seu cotidiano?
x+y+1√
x−1 ∈ ≠
 9 − x − y2 2− −−−−−−−−√
 9 − x − y2 2− −−−−−−−−√
 9 − x − y2 2− −−−−−−−−√
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c…7/19
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 8/19
A de�nição de derivada direcional de uma função f de duas variáveis no ponto ( ) na direção
de um vetor unitário u = < a, b > é dada por:
caso esse limite exista.
Considerando f(x,y) = x²+ y², vamos calcular a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do
vetor u, em que u é o versor do vetor v = <-1,1> . Com efeito, inicialmente, note que foi necessário
trabalhar com a direção u sendo o versor do vetor v, pois, pela de�nição, a direção precisa ser um
vetor unitário. Sendo u = <a,b> um vetor unitário qualquer, temos que:
Como a direção desejada é dada por u = , logo:
Quando trabalharmos com os vetores canônicos i = < 1, 0 > e j = <0, 1>, as derivadas direcionais
recebem uma nomenclatura especial: derivadas parciais de f. Se u = i = <1,0>, denotamos
 e a denominamos derivada parcial de f, em relação a x e. Se u = j = <0,1>, denotamos
 e a denominamos derivada parcial de f, em relação a y.
A derivada parcial de uma função f em relação a x é a derivada de g(x) = f(x,y), ou seja, mantemos a
variável y como uma constante. Já a derivada de uma função f em relação a y é a derivada de g(y) =
f(x,y), em que mantemos x constante.
Derivadas Direcionais e VetoresDerivadas Direcionais e Vetores
GradientesGradientes
,x0 y0
 f ( ,   ) =   ,Du x0 y0 lim
h→0
f ( + ha,   + hb) − f ( , )x0 y0 x0 y0
h
 f (1,  1) =   = = 2a + 2bDu lim
h→0
f (1 + ha,  1 + hb) − f (1, 1)
h
lim
h→0
(1 + ha) + (1 + hb) − 22 2
h
= ( ,  )(−1,1)
(−1) + 12 2√
−1
2√
1
2√
 f (1,  1) = 2  +  2    = 0.Du
−1
2
–√
1
2
–√
 f =Du fx
 f =Du fy
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&c… 9/19
Por exemplo, considerando f(x,y) = 2xy - 4y. Logo:
1. (x,y) = 2y(x’) - 0 = 2y, pois olhamos y como constante e derivamos em relação a x;
2. (x,y) =2x(y’)-(4y)’= 2x - 4, pois olhamos x como constante e derivamos em relação a y;
3. (2,1) = 2.1 = 2, substituindo o ponto (2,1) no que determinamos no item 1;
4. (0, 1) = 2 . 0 + 4 = 4, substituindo o ponto (0,1) no que determinamos no item 2.
Considere uma função de duas variáveis f(x,y) diferenciável em x e y, isto é, e existem. Então, f
tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u = <a,b> e (x,y) a + (x,y)
b.
Se retornarmos no cálculo da derivada direcional de f(x,y)=x²+y² no ponto (1,1) e direção u = <a,b>,
realizado no início deste tópico, observamos que essa relação foi satisfeita, pois obtemos que
2a + 2b, (x,y)= 2x e (x,y)=2y, logo, (1,1)= 2 e (1,1)=2.
Note que a relação (x,y) a + (x,y) b diz que a derivada direcional pode ser
escrita como o produto escalar entre dois vetores, pois < (x,y), (x,y)>.<a,b>=<
(x,y), (x,y)>. u.
Dessa forma, o vetor < (x,y), (x,y)> possui uma nomenclatura e notação especial: se f é uma
função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial ∇f  de�nida por ∇f  (x,y) = < 
(x,y), (x,y)>.
Sendo f(x,y) = sen x + , obtemos:
, pois consideramos y como constante;
, pois consideramos x como constante.
Portanto,
∇f  (x,y) = < , > e
∇f  (0,1) = < , >=<2,0>.
Com a nomenclatura do vetor gradiente, podemos escrever a derivada direcional de uma função
de duas variáveis f na direção u, por exemplo:
 ∇f  (x,y) . u.
Para determinar a derivada direcional da função f(x,y) = x²y³-4y no ponto (2,-1) e direção v = 2 i + 5 j.
Primeiro, observamos que
v =2<1,0>+5<0,1>=<2,0>+<0,5>= <2,5>
não é um vetor unitário, logo um vetor unitário na direção v é dado por seu versor, ou seja, u =
. Dessa forma, temos que
fx
fy
fx
fy
fx fy
 f (x, y) =Du fx fy
 f (1,  1) =Du fx fy fx fy
 f (x, y) =Du fx fy
 f (x, y) =Du fx fy fx
fy
fx fy
fx
fy
exy
(x, y) = cos x  +  y fx exy
(x, y) = x fy exy
cos x  +  y exy x exy
cos 0  +  1. e0.1 0. e1.0
 f (x, y) =Du
= = ⟨ ,   ⟩v
|v|
⟨2,5⟩
2 +52 2√
2
29√
5
29√
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 10/19
(x,y)= 2xy³ e (x,y)=3x²y² -4.
Logo, (2,-1) = -4 e (2,-1) = 8. E, pela apresentada,
 ∇f  (2,1) . u = <-4, 8> . = - + = .
praticar
Vamos Praticar
Quando determinamos a derivada de uma função de uma variável em um ponto qualquer, não precisamos
nos preocupar com a direção desse ponto, pois ela é única. No cálculo diferencial de funções de várias
variáveis isso muda.
Com base no que aprendemos nessa seção, assinale a alternativa correta.
a) , sendo f(x,y)=x²+xy e u = <1,1>.
b) , sendo f(x,y)=x²+xy e u = <3,4>.
c) Se f(x) = com , temos que (x,y)= .
d) Se f(x,y) = sen x + 2 cos y , temos que (x,y)= -2 sen x.
e) Temos que ∇f  (x,y) = <4 - 2x, 4 - 4y> se f(x,y) = 4 - x²- 2y².
fx fy
fx fy
 f (2, −1) =Du ⟨ ,   ⟩2
29√
5
29√
8
29√
40
29√
32
29√
 f (1, 2) = 5Du
 f (1, 2) = 4Du
,1 − x − y2 2− −−−−−−−−√ x + y ≤ 12 2 fx
−x−y
1−x −y2 2√
fy
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d&… 11/19
Sabemos que uma aplicação do cálculo diferencial de uma variável é interpretar a derivada de uma
função f(x) como uma taxa de variação, o mesmo ocorre para as derivadas direcionais de funções
de várias variáveis.
Portanto, como a derivada direcional de f(x,y) para qualquer direção u é uma taxa de variação, uma
pergunta natural é: em qual dessas direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de
variação? A resposta, por sua vez, tem ligação direta com o gradiente de f, e está enunciada no
próximo teorema.
Teorema 2.1: se, f é uma função de duas variáveis e e existam e sejam contínuas. O valor
máximo da derivada direcional é o módulo do vetor gradiente ∇f, e ocorre quando u tem a
mesma direção que ∇f .
Podemos utilizar esse resultado para aplicações, por exemplo, suponha que a função f(x,y)=x²+3y²
represente a distribuição de temperatura, em graus Celsius, no plano xy de um material, em que x
e y estão em centímetros. No caso do ponto (1,1), qual a direção de maior crescimento da
temperatura?
A taxa de variação da temperatura em determinada direção u é dada por . Dessa forma,
temos que ∇f (x,y) = <2x, 6y>, então ∇f (1,1) = <2,6>. Pelo Teorema 2.1, a temperatura aumenta mais
rapidamente na direção do vetor gradiente ∇f  (1,1) = <2,6> ou, equivalentemente, ∇f  (1,1) = 2 <1,0>
+ 6 <0,1> = 2 i + 6 j.
Se desejarmos calcular a maior taxa de aumento pelo Teorema 2.1, basta determinarmos o módulo
do vetor gradiente. Logo,
Aplicações das DerivadasAplicações das Derivadas
DirecionaisDirecionais
fx fy
 fDu
 fDu
|⟨2, 6⟩| = = = 22 + 62 2− −−−−−√ 40−−√ 10−−√
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 12/19
ou seja, a taxa máxima de aumento da temperatura no material é de aproximadamente 6,3 ºC por
cm.
praticar
Vamos Praticar
Como já mencionamos, todos os conceitos aplicados para funções de duas variáveis podem ser estendidos
para funções de três ou mais variáveis. Considere a função f(x,y,z)=1 + x² + 2y² + 3z², que descreve a
temperatura de um material em um ponto (x,y,z) do espaço, em que f é dada em Celsius e x, y e z em
centímetros. Analise as alternativas seguir e assinale a correta.
a) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 4,5 ºC por centímetro.
b) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 4,8 ºC por centímetro.
c) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 6,2 ºC por centímetro.
d) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 7 ºC por centímetro.
e) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente,7,7 ºC por centímetro.
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 13/19
Nesta seção, consideramos que a função f é diferenciável, ou seja, suas derivadas parciais existem
e são contínuas. Devemos recordar, também, que no cálculo diferencial para funções de uma
variável existe uma regra que nos auxilia a calcular a derivada de uma função composta,
denominada Regra da Cadeia.
Para funções de mais variáveis compostas também utilizamos a regra da cadeia, porém ela tem
muitas versões. Isso ocorre, pois a função f pode depender de n variáveis, que chamaremos de
intermediárias, e as n variáveis intermediárias podem ser vistas como funções que dependem de n
variáveis, por sua vez, denominadas variáveis independentes.
Para compreendermos o caso geral da regra da cadeia, precisamos analisar duas situações.
Primeiro, suponha que f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, em que x = g(t) e y = h(t) são
funções diferenciáveis de t. Então f(x,y) = f(g(t), h(t)) é uma função diferenciável de t e, a Regra da
Cadeia, que veremos generalizada posteriormente, nos garante que
em que representa a derivada de f em relação a t, como usávamos no cálculo diferencial para
funções de uma variável.
Nesta primeira versão, temos que f depende indiretamente de t, uma vez que x e y são funções de
t. Por exemplo, considere f(x,y)=x²y+4xy³, em que x = sen 2t e y = cos t. Utilizando a regra acima,
vamos determinar quando t = 0. Note que
.
Mas, para t = 0, x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Logo, 4 .2 + (0). (-0) =8.
Regra da Cadeia para Funções deRegra da Cadeia para Funções de
Várias VariáveisVárias Variáveis
= + ,
df
dt
fx
dx
dt
fy
dy
dt
df
dt
dz
dt
= + = (2xy + 4y ) (2 cos 2t)   + (x + 12xy ) (−sen t)dx
dt
fx
dx
dt
fy
dy
dt
3 2 2
=dz
dt
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 14/19
Agora, vamos supor que f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, em que x = g(s,t) e y = h(s,t)
são funções diferenciáveis de s e de t. Portanto,
 e
Nessa segunda versão, s e t são variáveis independentes; x e y são variáveis intermediárias e f (x,y)
= f(g(s,t), h(s,t)) é a variável dependente. Considere f(x,y) = sen y, onde x = st² e y = s²t, pela Regra
da Cadeia,
( sen y)(t²) + ( cos y)(2st )=t² sen (s²t) + 2 st² cos (s²t) e
( sen y)(2st) + ( cos y)s² = 2st sen (s²t) + s² cos (s²t).
Por �m, temos uma versão geral, em que n variáveis intermediárias e m variáveis independentes.
Como veremos, a derivada parcial da função f terá n termos, um para cada variável intermediária.
Regra da Cadeia: suponha que f seja uma função diferenciável de n variáveis e
cada é uma função diferenciável de m variáveis . Então, f é uma função
diferenciável de e
,
para cada i = 1, 2, …, m.
Por exemplo, se f(x,y,z) = x³y + yz³, onde x = t.s, y = ts² e z =t²s, pela Regra da cadeia, temos que:
.
=   +  fs fx xs fy ys
=   +   .ft fx xt  fy yt
ex
=fs ex ex est
2
est
2
=.ft ex ex est
2
est
2
,   , . . . ,  x1  x2  xn
xj ,   ,  . . . ,  t1 t2 tm
,   ,  . . . ,  t1 t2 tm
= x +  x +. . . +  fti fx1 
1
ti fx2
2
ti fxn x
n
ti
=     +   +     = (3x y .  s)   + [(x + z ) s ]   +   (3yz  2ts)ft fx xt fy yt fz zt
2 3 3 2 2
= 3t   + t + + 6 = 4t   + 73s5 3s5 t6s5  t6 s5 3s5 t6 s5
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 15/19
Com as regras e conceitos aprendidos nesta unidade, estamos aptos para esboçar e derivar os
mais variados tipos de funções de duas variáveis. Esses conceitos nos auxiliarão em matérias
futuras.
praticar
Vamos Praticar
Ao compormos duas funções obtemos uma nova função denominada função composta. As funções
compostas, na maioria das vezes, são mais difíceis de serem diferenciadas, mas, como vimos nessa seção,
temos a Regra da Cadeia para nos auxiliar neste processo. Observando os conceitos aprendidos nessa
seção, assinale a alternativa correta.
a) Sendo f (x,y) = x²y com x = e y = 2t + 1, temos que .
b) Sendo f (x,y) = x²y com x = e y = 2t + 1, temos que se t=1.
c) Se f(u,v)= u.v com u = x² e v = 3x+1, temos que .
d) Se u = em que x = rs y = rs² e z =r²s sent,
.
e) Se u = em que x = rs y = rs² e z =r²s sent, , se r=2, s =1 e t=0.
saiba mais
Saiba mais
Nesta unidade, vimos alguns conceitos do cálculo
diferencial para funções de duas variáveis e veri�camos
uma relação entre esses conceitos com os conceitos vistos
com o cálculo diferencial para funções de uma variável.
Não abordamos os conceitos de limite e continuidade de
funções de duas variáveis, porém tais conceitos são
extensões da teoria que já sabemos para funções de uma
variável. Para conhecer com mais precisão essa teoria,
acesse o vídeo aula.
ASS I ST IR
e−t = 4xy t  + 2x
df
dt
et  2
e−t = 4 ,
df
dt
e−2
= 8x + 2xdz
dx
2
y + y zx4 2 3 ,et e−t
= 4x y  + + 2yz   + 3y zus
3 x4  3 2 2
y + y zx4 2 3 ,et e−t = 100us
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 16/19
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 17/19
indicações
Material Complementar
LIVRO
Um curso de cálculo: volume II
Hamilton Luiz Guidorizzi
Editora: LTC - GEN
ISBN: 978-85-216-1280-3
Comentário: esse livro traz a teoria do cálculo diferencial de várias
variáveis de forma completa, além de conter vários exercícios
resolvidos. Essa é uma ótima bibliogra�a para pesquisar suas dúvidas e
aprofundar o conhecimento.
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 18/19
FILME
O jogo da imitação
Ano: 2014
Comentário: esse �lme narra a história de como os conhecimentos em
Matemática, lógica e ciência da computação do cientista Alan Turing
contribuíram para as estratégias usadas pelos Estados Unidos durante
a Segunda Guerra Mundial.
TRA ILER
10/04/2023, 11:16 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=5FHcSgiJVbjK1vc8wef3Qg%3d%3d&l=%2b5Odv%2fR%2bCIqc%2bd18TWJFyA%3d%3d… 19/19
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, familiarizamos com as funções de várias variáveis. Essas funções, que ainda não
haviam sido estudadas por nós, são muito importantes, pois elas descrevem diversas situações
cotidianas.
Iniciamos a unidade aprendendo como essas funções se comportam gra�camente. Em seguida,
vimos os conceitos do cálculo diferencial de várias variáveis. Como percebemos, esses conceitos
são extensões do cálculo ordinário já estudado.
Esperamos que você tenha aproveitado essa disciplina ao máximo, resolvendo exemplos e
exercícios e pesquisando suas dúvidas. Lembre-se de que, a dedicação in�uencia a aprendizagem.
Muito sucesso, até a próxima!
referências
Referências Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 2. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2010.
STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.