(a) Seja X  Unif0,1 e a v.a. mista Y  minX, 2/3. Calcule EY; (b) Se X1,X2, . . . ,Xn são v.a.´s IID N0,1, e U  X1 2  X2 2 . . .Xn 2, ...

(a) Para calcular E(Y), precisamos primeiro encontrar a função de densidade de probabilidade de Y. Temos: P(Y > y) = P(min(X, 2/3) > y) = P(X > y)P(2/3 > y) = (1-y)(2/3-y) Para 0 ≤ y ≤ 2/3, temos: P(Y > y) = (1-y)(2/3-y) f(y) = dP(Y ≤ y)/dy = 2/3 - 2y Para 2/3 < y ≤ 1, temos: P(Y > y) = P(X > y)P(2/3 > y) = (1-y)2/3 f(y) = dP(Y ≤ y)/dy = 2/3 Portanto, a função de densidade de probabilidade de Y é: f(y) = { 2/3 - 2y, 0 ≤ y ≤ 2/3 { 2/3, 2/3 < y ≤ 1 Agora podemos calcular E(Y): E(Y) = ∫[0,2/3] yf(y)dy + ∫(2/3,1] yf(y)dy = ∫[0,2/3] y(2/3 - 2y)dy + ∫(2/3,1] y(2/3)dy = 1/9 (b) Para calcular E(U), temos: E(U) = E(X1^2 + X2^2 + ... + Xn^2) = E(X1^2) + E(X2^2) + ... + E(Xn^2) = Var(X1) + E(X1)^2 + Var(X2) + E(X2)^2 + ... + Var(Xn) + E(Xn)^2 = n + 0 Para calcular V(U), temos: V(U) = V(X1^2 + X2^2 + ... + Xn^2) = V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn) = 1 + 1 + ... + 1 = n