4) Calcule o comprimento da curva dada. a)γ(t)=(tcos⁡t,tsin⁡t),t∈[0,2π] b)γ(t)=(2t−1,t+1),t∈[1,2] c)γ(t)=(cost,sent,e−t),t∈[0,π] d)γ(t)=(e−tcos⁡t,e...

a) Para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula L = ∫a^b ||γ'(t)|| dt, onde ||γ'(t)|| é a norma do vetor tangente. Assim, temos: γ'(t) = (-tsin(t), tcos(t)) ||γ'(t)|| = √(t^2sin^2(t) + t^2cos^2(t)) = √(t^2) = t Logo, L = ∫0^2π t dt = [t^2/2]_0^2π = 2π^2. Portanto, o comprimento da curva a) é 2π^2. b) Para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula L = ∫a^b ||γ'(t)|| dt, onde ||γ'(t)|| é a norma do vetor tangente. Assim, temos: γ'(t) = (2, 1) ||γ'(t)|| = √(2^2 + 1^2) = √5 Logo, L = ∫1^2 √5 dt = √5[t]_1^2 = √5. Portanto, o comprimento da curva b) é √5. c) Para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula L = ∫a^b ||γ'(t)|| dt, onde ||γ'(t)|| é a norma do vetor tangente. Assim, temos: γ'(t) = (-sin(t), cos(t), -e^(-t)) ||γ'(t)|| = √(sin^2(t) + cos^2(t) + e^(-2t)) = √(1 + e^(-2t)) Logo, L = ∫0^π √(1 + e^(-2t)) dt. Essa integral não tem uma solução analítica simples, então precisamos usar métodos numéricos para aproximá-la. d) Para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula L = ∫a^b ||γ'(t)|| dt, onde ||γ'(t)|| é a norma do vetor tangente. Assim, temos: γ'(t) = (-e^(-t)cos(t) + esin(t), -e^(-t)sin(t) - ecos(t), -e^(-t)) ||γ'(t)|| = √(e^(2t)cos^2(t) - 2e^(2t)sin(t)cos(t) + e^(2t)sin^2(t) + e^(-2t)) = √(2 - 2e^(2t)sin(t)cos(t)) Logo, L = ∫0^1 √(2 - 2e^(2t)sin(t)cos(t)) dt. Essa integral não tem uma solução analítica simples, então precisamos usar métodos numéricos para aproximá-la. e) Para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula L = ∫a^b ||γ'(t)|| dt, onde ||γ'(t)|| é a norma do vetor tangente. Assim, temos: γ'(t) = (1, 1/t) ||γ'(t)|| = √(1 + 1/t^2) Logo, L = ∫1^e √(1 + 1/t^2) dt. Essa integral não tem uma solução analítica simples, então precisamos usar métodos numéricos para aproximá-la. f) Para calcular o comprimento da curva, usamos a fórmula L = ∫a^b ||γ'(t)|| dt, onde ||γ'(t)|| é a norma do vetor tangente. Assim, temos: γ'(t) = (sin(t), 1 - cos(t)) ||γ'(t)|| = √(sin^2(t) + (1 - cos(t))^2) = 2|sin(t/2)| Logo, L = ∫0^2π 2|sin(t/2)| dt = 4. Portanto, o comprimento da curva f) é 4.