7) Seja γ:[a,b]→Rn, com derivada contínua, e tal que ||γ′(t)||≠0 em [a,b]. Seja s:[a,b]→R dada por s(t)=∫ta||γ′(u)||du. a) Verifique que a função s...

a) Para verificar que a função s é inversível, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora. Primeiro, vamos mostrar que s é injetora. Suponha que existam t1 e t2 em [a, b] tais que s(t1) = s(t2). Então, temos: ∫a t1 ||γ′(u)||du = ∫a t2 ||γ′(u)||du Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos: ||γ′(t1)|| = ||γ′(t2)|| Mas isso contradiz a hipótese de que ||γ′(t)|| é diferente de zero em [a, b]. Portanto, s é injetora. Agora, vamos mostrar que s é sobrejetora. Seja s0 um valor arbitrário em R. Como γ′ é contínua e ||γ′(t)|| é diferente de zero em [a, b], podemos definir uma função contínua f:[a, b]→R por f(t) = ∫a t ||γ′(u)||du. Então, temos f(a) = 0 e f(b) = s(b). Como f é contínua e f(a) < s0 < f(b), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um t0 em [a, b] tal que f(t0) = s0. Portanto, s é sobrejetora e, portanto, é inversível. Seja t = t(s) a inversa de s. Então, temos s(t(s)) = s e t(s(t)) = t. Diferenciando ambos os lados em relação a s, obtemos: s′(t(s))t′(s) = 1 Portanto, t′(s) = 1/s′(t(s)). Como s é inversível, s′(t) é diferente de zero para todo t em [a, b]. Portanto, t′(s) é bem definida e é contínua em R. b) Para verificar que δ é parametrizada pelo comprimento de arco, precisamos mostrar que ||δ′(s)|| = 1 para todo s em [0, L]. Temos: δ′(s) = γ′(t(s))t′(s) Portanto, ||δ′(s)|| = ||γ′(t(s))t′(s)|| = ||γ′(t(s))||/||s′(t(s))|| Mas ||γ′(t(s))|| = s′(t(s)), pois s(t(s)) = s. Portanto, ||δ′(s)|| = 1.