17) Dado f(x,y)=x2+y2−2x−4y+4, determine: a)As coordenadas do ponto crítico. b)O valor mínimo de f(x,y). c)O gráfico de f(x,y).

a) Para encontrar as coordenadas do ponto crítico, precisamos calcular as derivadas parciais de f(x,y) em relação a x e y e igualá-las a zero. f(x,y) = x² + y² - 2x - 4y + 4 fx = 2x - 2 = 0 fy = 2y - 4 = 0 Resolvendo o sistema de equações, temos: x = 1 y = 2 Portanto, as coordenadas do ponto crítico são (1,2). b) Para encontrar o valor mínimo de f(x,y), podemos utilizar o método da análise de segunda ordem. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) em relação a x e y, e a derivada parcial de segunda ordem mista. f(x,y) = x² + y² - 2x - 4y + 4 fxx = 2 fyy = 2 fxy = 0 Calculando o determinante da matriz hessiana: H = fxx * fyy - (fxy)² H = 4 Como H é positivo, temos um mínimo local em (1,2). Para encontrar o valor mínimo de f(x,y), basta substituir as coordenadas do ponto crítico na função: f(1,2) = 1² + 2² - 2(1) - 4(2) + 4 f(1,2) = -5 Portanto, o valor mínimo de f(x,y) é -5. c) Para desenhar o gráfico de f(x,y), podemos utilizar um software de plotagem ou fazer uma análise gráfica. Podemos começar encontrando os pontos críticos e o valor mínimo da função, que já foram calculados nas partes a) e b). O ponto crítico (1,2) é um mínimo local, e o valor mínimo da função é -5. Podemos então traçar uma curva de nível para f(x,y) = -5, que é uma circunferência de raio 1 centrada em (1,2). Podemos também traçar outras curvas de nível para valores maiores de f(x,y), que serão circunferências concêntricas à primeira. O gráfico de f(x,y) será uma superfície em forma de "bacia", com o ponto (1,2) no fundo da bacia.