Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A. Determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. a)f(x, y) = (x− 1)2...

a) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = (x− 1)² + (y − 1)² + 3 em A = R², podemos utilizar o método do gradiente. Primeiro, calculamos o gradiente de f: ∇f(x, y) = (2(x-1), 2(y-1)) Em seguida, igualamos o gradiente a zero para encontrar os pontos críticos: 2(x-1) = 0 2(y-1) = 0 x = 1 e y = 1 Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de f: Hf(x, y) = [2 0] [0 2] A matriz hessiana é positiva definida, o que significa que o ponto crítico (1, 1) é um mínimo global de f em A = R². Portanto, o valor mínimo de f é f(1, 1) = 3 e não há valor máximo. b) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = xy em A = R², podemos novamente utilizar o método do gradiente. Primeiro, calculamos o gradiente de f: ∇f(x, y) = (y, x) Em seguida, igualamos o gradiente a zero para encontrar os pontos críticos: y = 0 x = 0 Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de f: Hf(x, y) = [0 1] [1 0] A matriz hessiana é indefinida, o que significa que os pontos críticos (0, 0) são pontos de sela. Portanto, não há valor máximo ou mínimo de f em A = R². c) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = xy em A = {(x, y) ∈ R²|x ≥ 0 e y ≥ 0}, podemos novamente utilizar o método do gradiente. Primeiro, calculamos o gradiente de f: ∇f(x, y) = (y, x) Em seguida, igualamos o gradiente a zero para encontrar os pontos críticos: y = 0 x = 0 Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de f: Hf(x, y) = [0 1] [1 0] A matriz hessiana é indefinida, o que significa que os pontos críticos (0, 0) são pontos de sela. Portanto, não há valor máximo ou mínimo de f em A = {(x, y) ∈ R²|x ≥ 0 e y ≥ 0}. d) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = x²/(x² + y²) em A = {(x, y) ∈ R²|(x, y) ≠ (0, 0)}, podemos novamente utilizar o método do gradiente. Primeiro, calculamos o gradiente de f: ∇f(x, y) = (2xy/(x² + y²)², (y² - x²)/(x² + y²)²) Em seguida, igualamos o gradiente a zero para encontrar os pontos críticos: 2xy/(x² + y²)² = 0 (y² - x²)/(x² + y²)² = 0 y = ±x Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de f: Hf(x, y) = [2y²/(x² + y²)³ - 4x²y²/(x² + y²)⁴ -4xy/(x² + y²)³] [-4xy/(x² + y²)³ 2x²/(x² + y²)³ - 4x²y²/(x² + y²)⁴] A matriz hessiana é indefinida para todos os pontos críticos, o que significa que não há valores máximo ou mínimo de f em A = {(x, y) ∈ R²|(x, y) ≠ (0, 0)}. e) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = x² + y² em A = {(x, y) ∈ R²|x + 2y = 1}, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, escrevemos a restrição como uma equação: x + 2y = 1 Em seguida, escrevemos a função Lagrangeana: L(x, y, λ) = x² + y² + λ(x + 2y - 1) Agora, calculamos o gradiente de L e igualamos a zero: ∇L(x, y, λ) = (2x + λ, 2y + 2λ, x + 2y - 1) = (0, 0, 0) Da terceira equação, temos que x + 2y = 1. Substituindo na primeira e segunda equações, temos: 2x + λ = 0 2y + 2λ = 0 x = -λ/2 y = -λ Substituindo esses valores na equação x + 2y = 1, temos: -λ/2 - 2λ = 1 λ = -1/5 x = 2/5 y = 3/5 Agora, precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de L: HL(x, y, λ) = [2 0 1] [0 2 2] [1 2 0] A matriz hessiana é positiva definida, o que significa que o ponto (2/5, 3/5) é um mínimo global de f em A = {(x, y) ∈ R²|x + 2y = 1}. Portanto, o valor mínimo de f é f(2/5, 3/5) = 13/25 e não há valor máximo. f) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = 2 - √(x² + y²) em A = R², podemos novamente utilizar o método do gradiente. Primeiro, calculamos o gradiente de f: ∇f(x, y) = (-x/√(x² + y²), -y/√(x² + y²)) Em seguida, igualamos o gradiente a zero para encontrar os pontos críticos: -x/√(x² + y²) = 0 -y/√(x² + y²) = 0 x = 0 ou y = 0 Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de f: Hf(x, y) = [y²/(x² + y²)^(3/2) -xy/(x² + y²)^(3/2)] [-xy/(x² + y²)^(3/2) x²/(x² + y²)^(3/2)] A matriz hessiana é indefinida para todos os pontos críticos, o que significa que não há valores máximo ou mínimo de f em A = R². g) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x, y) = xy em A = {(x, y) ∈ R²|4x² + y² = 1, y ≥ 0}, podemos novamente utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, escrevemos a restrição como uma equação: 4x² + y² = 1 Em seguida, escrevemos a função Lagrangeana: L(x, y, λ) = xy + λ(4x² + y² - 1) Agora, calculamos o gradiente de L e igualamos a zero: ∇L(x, y, λ) = (y + 8λx, x + 2λy, 4x² + y² - 1) = (0, 0, 0) Da terceira equação, temos que 4x² + y² = 1. Substituindo na primeira e segunda equações, temos: y + 8λx = 0 x + 2λy = 0 Multiplicando a primeira equação por 2λ e a segunda equação por 8, temos: 16λ²x + 2λy = 0 8x + 16λ²y = 0 Substituindo y = -8λx na segunda equação, temos: 8x - 1024λ⁴x = 0 x(1 - 128λ⁴) = 0 Portanto, x = 0 ou λ⁴ = 1/128. Se x = 0, então y² = 1 e y = ±1. Se λ⁴ = 1/128, então y = ±2√2/8 = ±√2/2. Portanto, os pontos críticos são (0, 1), (0, -1), (√2/4, √2/2) e (-√2/4, √2/2). Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana de L: HL(x, y, λ) = [8λ 1 8xλ] [1 8λ² 2λ] [8xλ 2λ 0] Para o ponto (0, 1), temos λ = 0 e a matriz hessiana é indefinida, o que significa que não há valores máximo ou mínimo de f nesse ponto. Para o ponto (0, -1), temos λ = 0 e a matriz hessiana é indefinida, o que significa que não há valores máximo ou mínimo de f nesse ponto. Para o ponto (√2/4, √2/2), temos λ = 1/2√2 e a matriz hessiana é positiva definida, o que significa que o ponto é um mínimo local de f em A = {(x, y) ∈ R²|4x² + y² = 1, y ≥ 0}. Portanto, o valor mínimo de f é f(√2/4, √2/2) = √2/4. Para o ponto (-√2/4, √2/2), temos λ = -1/2√2 e a matriz hessiana é negativa definida, o que significa que o ponto é um máximo local de f em A = {(x, y) ∈ R²|4x² + y² = 1, y ≥ 0}. Portanto, o valor máximo de f é f(-√2/4, √2/2) = -√2/4. 18) A projeção de P sobre o plano xy é Q = (5 - t, t² + 3, 0). Portanto, as coordenadas de P são (5 - t, t² + 3, (5 - t) * (t² + 3)). A altura de P em relação ao plano xy é dada por: h(t) = (5 - t) * (t² + 3) Para encontrar a altura máxima e mínima, podemos calcular a derivada de h em relação a t e igualá-la a zero: h'(t) = -t³ - 3t² + 5t - 15 = 0 Podemos utilizar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes dessa equação. Após algumas iterações, encontramos as raízes aproximadas t = -3, t = -1 e t = 5/3. Portanto, os pontos correspondentes são P1 = (8, 12, -96), P2 = (6, 4, -60) e P3 = (10/3, 16/9, -200/27). A altura máxima é h(P1) = 96 e a altura mínima é h(P2) = 60. 19) A projeção de P sobre o plano xy é Q = (x, y, 0). Portanto, as coordenadas de P são (x, y, x² + y²). A distância de P ao plano xy é dada por: d(x, y) = |x + y - 1|/√2 Queremos encontrar o ponto de P que está mais próximo do plano xy, ou seja, o ponto que minimiza a distância d. Podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, escrevemos a função Lagrangeana: L(x, y, λ) = (x - a)² + (y - b)² + λ(x + y - 1) Agora, calculamos o gradiente de L e igualamos a zero: ∇L(x, y, λ) = (2(x - a) + λ, 2(y - b) + λ, x + y - 1) = (0, 0, 0) Da terceira equação, temos que x + y = 1. Substituindo na primeira e segunda equações, temos: 2(x - a) + λ = 0 2(y - b) + λ = 0 x = a - λ/2 y = b - λ/2 Substituindo esses valores na equação x + y = 1, temos: a + b - λ/2 = 1 λ = 2(a + b - 1) Substituindo esse valor de λ em x e y, temos: x = a - (a + b - 1) = 2 - b y = b - (a + b - 1) = 2 - a Portanto, o ponto de P que está mais próximo do plano xy é (2 - b, 2 - a, 2 - 2a - 2b). Para encontrar o ponto de P correspondente, podemos utilizar a equação x + y = 1: 2 - b + 2 - a = 1 a + b = 3 Substituindo esse valor de a + b em x e y, temos: x = 2 - (3 - b) = b - 1 y = 2 - (3 - b) = 1 - b Portanto, o ponto de P correspondente é (b - 1, 1 - b, 2 - 2b). Para encontrar o valor mínimo de d, podemos substituir essas coordenadas na equação de d: d(b) = |(b - 1) + (1 - b) - 1|/√2 = 1/√2 Portanto, o ponto de P mais próximo do plano xy é (1/2, 1/2, 1/2) e a distância mínima é 1/√2. 20) Para a função f(x, y) = xy, podemos desenhar a imagem de γ para cada um dos valores de a e b: a) a = 0 e b = 1 Nesse caso, γ(t) = (0, t, 0) e f(γ(t)) = 0 para todo t. Portanto, a imagem de γ é o eixo y. b) a = 1 e b = 0 Nesse caso, γ(t) = (t, 0, 0) e f(γ(t)) = 0 para todo t. Portanto, a imagem de γ é o eixo x. c) a = 1 e b = 1 Nesse caso, γ(t) = (t, t, t²) e f(γ(t)) = t² para todo t. Portanto, a imagem de γ é o gráfico da função f(x, y) = x². d) a = -1 e b = 1 Nesse caso, γ(t) = (-t, t, t²) e f(γ(t)) = -t² para todo t. Portanto, a imagem de γ é o gráfico da função f(x, y) = -x². Para desenhar o gráfico de f(x, y) = xy, podemos utilizar um software de plotagem, como o Wolfram Alpha ou o GeoGebra. 21) a) Para desenhar as isotermas correspondentes às temperaturas 0°C, 3°C e -1°C, podemos utilizar o fato de que as isotermas são curvas de nível da função T(x, y) = 2x + y. Portanto, as isotermas são dadas pelas equações: 2x + y = 0 2x + y = 3 2x + y = -1 Podemos desenhar essas curvas em um plano xy e, em seguida, projetá-las sobre a superfície z = T(x, y) para obter as isotermas correspondentes. b) Raciocinando geometricamente, os pontos de mais alta e mais baixa temperatura do círculo x² + y² ≤ 4 devem estar na borda do círculo, onde a temperatura varia mais rapidamente. Portanto, podemos utilizar o fato de que a temperatura varia mais rapidamente na direção do gradiente de T. O gradiente de T é dado por: ∇T(x, y) = (2, 1) Portanto, a direção de maior variação de T é dada pelo vetor (2, 1)/√5 e a direção de menor variação de T é dada pelo vetor (-1, 2)/√5. Os pontos de mais alta e mais baixa temperatura devem estar na interseção dessas direções com a borda do círculo. A borda do círculo é dada pela equação x² + y² = 4. Substituindo y = 4 - x², temos: T(x) = 2x + 4 - x² Podemos calcular a derivada de T em relação a x e igualá-la a zero para encontrar o ponto de máximo: T'(x) = 2 - 2x = 0 x = 1 Portanto, o ponto de mais alta temperatura é (1, 3) e a temperatura correspondente é T(1, 3) = 8°C. Para encontrar o ponto de mais baixa temperatura, podemos utilizar o fato de que a temperatura é simétrica em relação ao eixo y. Portanto, o ponto de mais baixa temperatura deve estar na interseção da direção de menor variação de T com o eixo y. Essa interseção ocorre em y = ±2/√5. Substituindo y = 2/√5, temos: x = -1/√5 Portanto, o ponto de mais baixa temperatura é (-1/√5, 2/√5) e a temperatura correspondente é T(-1/√5, 2/√5) = -2/√5°C. 22) Duas curvas de nível podem interceptar-se. Isso ocorre quando a função tem um ponto de sela, ou seja, um ponto crítico onde a matriz hessiana é indefinida. Nesse caso, as curvas de nível próximas ao ponto crítico podem se cruzar. Por exemplo, a função f(x, y) = x² - y² tem um ponto de sela em (0, 0) e as curvas de nível f(x, y) = c se cruzam em torno desse ponto.