5) Sejam f : A ⊂ R2 → R e γ1 e γ2 curvas em R2, contínuas em t0, com γ1(t0) = γ2(t0) = (x0, y0) e, para t 6= t0, γ(t) 6= (x0, y0) e com γ(t) ∈ Df ....

A afirmação é verdadeira. Pela hipótese, temos que lim t→t0 f(γ1(t)) = lim t→t0 f(γ2(t)) = L. Se lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = M, com M ≠ L, então, pela definição de limite, existiria ε > 0 tal que, para todo δ > 0, existiria (x,y) ∈ Df tal que 0 < √((x - x0)² + (y - y0)²) < δ e |f(x, y) - M| ≥ ε. Escolhendo δ = 1/n, teríamos uma sequência (xn, yn) em Df tal que (xn, yn) → (x0, y0) e |f(xn, yn) - M| ≥ ε para todo n. Mas, como γ1 e γ2 são contínuas em t0, temos que γ1(t) → (x0, y0) e γ2(t) → (x0, y0) quando t → t0. Assim, existe um t1 próximo o suficiente de t0 tal que γ1(t1) e γ2(t1) pertencem a uma bola de raio δ em torno de (x0, y0). Mas isso implica que f(γ1(t1)) e f(γ2(t1)) estão a uma distância menor que ε de M, o que contradiz a hipótese de que lim t→t0 f(γ1(t)) = lim t→t0 f(γ2(t)) = L. Portanto, a afirmação é verdadeira.