Sejam f(x, y) diferenciável em (x0, y0), γ(t) uma curva diferenciável em t0, cuja imagem está contida no gráfico de f, com γ(t0) = (x0, y0, f(x...

Para mostrar que a reta tangente a γ no ponto γ(t0) está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto γ(t0), precisamos mostrar que o vetor diretor da reta tangente é ortogonal ao vetor normal do plano tangente. O vetor diretor da reta tangente é dado por γ'(t0), enquanto o vetor normal do plano tangente é dado por N = (fx(x0, y0), fy(x0, y0), -1). Para mostrar que esses vetores são ortogonais, precisamos mostrar que o produto escalar entre eles é zero: γ'(t0) . N = γ'(t0) . (fx(x0, y0), fy(x0, y0), -1) = γ'x(t0)fx(x0, y0) + γ'y(t0)fy(x0, y0) - γ'z(t0) = fx(x0, y0) * (γ'x(t0)) + fy(x0, y0) * (γ'y(t0)) - γ'z(t0) Mas sabemos que γ(t) está no gráfico de f, então γ'z(t0) = fz(x0, y0), e γ'x(t0) e γ'y(t0) são as derivadas de x e y em relação a t, respectivamente. Como γ(t) está no gráfico de f, temos que f(γ(t)) = γ'z(t), então f(x0, y0) = γ'z(t0). Substituindo essas informações na equação acima, temos: γ'(t0) . N = fx(x0, y0) * (γ'x(t0)) + fy(x0, y0) * (γ'y(t0)) - γ'z(t0) = fx(x0, y0) * (γ'x(t0)) + fy(x0, y0) * (γ'y(t0)) - fz(x0, y0) Mas sabemos que γ(t) está no gráfico de f, então γ'z(t0) = fz(x0, y0), e γ'x(t0) e γ'y(t0) são as derivadas de x e y em relação a t, respectivamente. Como γ(t) está no gráfico de f, temos que f(γ(t)) = γ'z(t), então f(x0, y0) = γ'z(t0). Substituindo essas informações na equação acima, temos: γ'(t0) . N = fx(x0, y0) * (γ'x(t0)) + fy(x0, y0) * (γ'y(t0)) - fz(x0, y0) = fx(x0, y0) * (γ'x(t0)) + fy(x0, y0) * (γ'y(t0)) - f(x0, y0) Mas sabemos que (γ'x(t0), γ'y(t0)) é o vetor tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0), então podemos escrever: γ'(t0) . N = grad f(x0, y0) . (γ'x(t0), γ'y(t0)) = 0 Portanto, a reta tangente a γ no ponto γ(t0) está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto γ(t0).