1) Suponha que lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L. Seja γ uma curva em R2, contínua em t0, com γ(t0) = (x0, y0) e, para t 6= t0, γ(t) 6= (x0, y0) com ...

O enunciado apresenta um problema de análise matemática. A partir das informações dadas, é necessário provar que a função f é contínua em (x0, y0). Para isso, podemos utilizar a definição de continuidade de uma função em um ponto. Seja ε > 0 um número real positivo, precisamos encontrar um δ > 0 tal que, para todo (x,y) ∈ Df, se d((x,y),(x0,y0)) < δ, então |f(x,y) - L| < ε. Como γ é contínua em t0, podemos afirmar que existe um δ > 0 tal que, para todo t ∈ Df, se |t - t0| < δ, então d(γ(t), (x0,y0)) < δ. Assim, temos que |f(γ(t)) - L| < ε, para todo t ∈ Df, tal que |t - t0| < δ. Ou seja, lim t→t0 f(γ(t)) = L, o que prova que f é contínua em (x0,y0).