7) Suponha que lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = a e lim u→a g(u) = L, com g não-de�nida em a e Imf ⊂ Dg. Prove que lim (x,y)→(x0,y0) g(f(x, y)) = li...

Para provar que lim (x,y)→(x0,y0) g(f(x, y)) = lim u→a g(u), podemos usar a definição de limite. Seja ε > 0. Como lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = a, existe δ1 > 0 tal que se 0 < √((x - x0)² + (y - y0)²) < δ1, então |f(x, y) - a| < ε. Como lim u→a g(u) = L, existe δ2 > 0 tal que se 0 < |u - a| < δ2, então |g(u) - L| < ε. Agora, podemos escolher δ = min{δ1, δ2}. Então, se 0 < √((x - x0)² + (y - y0)²) < δ, temos que 0 < |f(x, y) - a| < δ1 e, portanto, |g(f(x, y)) - L| < ε. Isso mostra que lim (x,y)→(x0,y0) g(f(x, y)) = lim u→a g(u). Para provar que o resultado continua válido se supusermos g de�nida em a, com g contínua em a, podemos usar o mesmo argumento, mas agora não precisamos escolher δ2. Em vez disso, podemos simplesmente usar a continuidade de g em a para mostrar que lim u→a g(u) = g(a).

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