6) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = xy.

Para determinar o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = xy, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor diretor do plano, que é dado pela diferença entre os dois pontos: v = (-1, 1, 1) - (1, 1, 2) = (-2, 0, -1). 2. Encontrar o vetor gradiente da função f(x, y) = xy no ponto (1, 1), que é dado por grad(f) = (df/dx, df/dy) = (y, x) = (1, 1). 3. O vetor gradiente é perpendicular ao plano tangente, então podemos usar o produto escalar para encontrar a equação do plano: (-2, 0, -1) . (1, 1, 0) = 0. Portanto, a equação do plano é -2x + z = -3. Assim, o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1) e que é tangente ao gráfico de f(x, y) = xy é dado pela equação -2x + z = -3.