7) Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+ y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x2 + y2.

Para determinar o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x² + y², podemos utilizar o gradiente da função f(x, y) que é dado por: grad(f) = (2x, 2y, -1) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função f(x, y) avaliado no ponto de tangência. Portanto, o vetor normal é: n = grad(f)(1, 1) = (2, 2, -1) Como o plano que procuramos é paralelo ao plano z = 2x + y, sabemos que o vetor normal desse plano é (2, 1, 0). Para que o plano seja tangente ao gráfico de f(x, y), o vetor normal desse plano deve ser proporcional ao vetor normal do plano tangente. Portanto, podemos encontrar o plano que procuramos multiplicando o vetor normal do plano tangente por uma constante k: (2, 1, 0) = k(2, 2, -1) Resolvendo essa equação, encontramos k = -1/6. Portanto, o plano que é paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x² + y² é dado por: 2x + 2y - z = -1/6