2) Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3 −→ i + a −→ j e igual a -1 na direção 4 −→ i − ...

a) Para encontrar o gradiente de f(x,y) no ponto (1,1), precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y e avaliá-las no ponto (1,1). Assim, temos: ∂f/∂x = lim(h → 0) [f(1+h,1) - f(1,1)]/h ∂f/∂x = lim(h → 0) [3h + (-4h)]/h ∂f/∂x = -1 ∂f/∂y = lim(h → 0) [f(1,1+h) - f(1,1)]/h ∂f/∂y = lim(h → 0) [ah + (-3h)]/h ∂f/∂y = a - 3 Portanto, o gradiente de f(x,y) no ponto (1,1) é dado por ∇f(1,1) = (-1, a-3). b) Para encontrar a derivada direcional de f(x,y) no ponto (1,1) na direção do vetor u = (-1/√2, 1/√2), precisamos calcular o produto escalar entre o gradiente de f no ponto (1,1) e o vetor u. Assim, temos: ∂f/∂-→u(1,1) = ∇f(1,1) . (-1/√2, 1/√2) ∂f/∂-→u(1,1) = (-1, a-3) . (-1/√2, 1/√2) ∂f/∂-→u(1,1) = (1-a) / √2 Portanto, a derivada direcional de f(x,y) no ponto (1,1) na direção do vetor u = (-1/√2, 1/√2) é (1-a) / √2.