Questão resolvida - Qual a derivada direcional da função f(x,y,z)=x²-2xy+3z no ponto P=(1,3,5) na direção de u=(2,2,1) - UFRJ

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Qual a derivada direcional da função no ponto f x, y, z = x²- 2xy+ 3z( ) P = 1, 3, 5( )
na direção de ?= 2, 2, 1U ( )
 
 Solução:
Sendo:
f x, y, z = x²- 2xy+ 3z; P = 1, 3, 5 ; = 2, 2, 1( ) ( ) u ( )
 
A derivada direcional é dada por:
D f x, y, z = ⋅ u + ⋅ u + ⋅ uu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar u fazemos:u1 u2 u3 u U
= ⋅ + ⋅ + ⋅u
2
2 + 2 + 1( )2 ( )2 ( )2
i
2
2 + 2 + 1( )2 ( )2 ( )2
j
1
2 + 2 + 1( )2 ( )2 ( )2
K
= + +u
2
9
i
2
9
j
1
9
j
 
= + +u
2
3
i
2
3
j
1
3
j
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a x, y e e substituimos o ponto;
 
= 2x - 2y 1, 3, 5 = 2 ⋅ 1- 2 ⋅ 3 = 2- 6 1, 3, 5 = - 4
𝜕f
𝜕x
→
𝜕f
𝜕x
( ) →
𝜕f
𝜕x
( )
 
= - 2x 1, 3, 5 = - 2 ⋅ 1 1, 3, 5 = - 2
𝜕f
𝜕y
→
𝜕f
𝜕y
( ) →
𝜕f
𝜕y
( )
 
= 3 1, 3, 5 = 3 1, 3, 5 = 3
𝜕f
𝜕z
→
𝜕f
𝜕z
( ) →
𝜕f
𝜕z
( )
O derivada direcional de f no ponto p na direção do vetor é:U
 
D f 1, 3, 5 = -4, -2, 3 ⋅ , , 
U
( ) ( )
2
3
2
3
1
3
D f 1, 3, 5 = - 4 ⋅ + -2 ⋅ + 3 ⋅ 
U
( )
2
3
( )
2
3
1
3
 
 
D f 1, 3, 5 = - - + 1 =
U
( )
8
3
4
3
-8- 12 + 3
3
 
D f 1, 3, 5 = -
U
( )
17
3
 
 
(Resposta)