7) Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto e direção −→w indicados. a)f(x, y, z) = xyz em (1, 1, 1) e na direção −→w = 2−→i + −→j −−...

a) Para calcular a derivada direcional da função f(x,y,z) = xyz no ponto (1,1,1) e na direção →w = 2→i - →j - →k, podemos utilizar a fórmula D→wf(x,y,z) = ∇f(x,y,z) . →w, onde ∇f(x,y,z) é o gradiente de f(x,y,z) e →w é o vetor direção. Calculando o gradiente de f(x,y,z), temos: ∇f(x,y,z) = Substituindo o ponto (1,1,1) na expressão do gradiente, temos: ∇f(1,1,1) = <1, 1, 1> Substituindo o vetor direção →w = 2→i - →j - →k na fórmula da derivada direcional, temos: D→wf(x,y,z) = ∇f(x,y,z) . →w = <1, 1, 1> . <2, -1, -1> = 1.2 + 1.(-1) + 1.(-1) = 0 Portanto, a derivada direcional da função f(x,y,z) = xyz no ponto (1,1,1) e na direção →w = 2→i - →j - →k é igual a 0. b) Para calcular a derivada direcional da função f(x,y,z) = x² + xy + z² no ponto (1,2,-1) e na direção →w = -→i + 2→j - →k, podemos utilizar a mesma fórmula D→wf(x,y,z) = ∇f(x,y,z) . →w. Calculando o gradiente de f(x,y,z), temos: ∇f(x,y,z) = <2x+y, x, 2z> Substituindo o ponto (1,2,-1) na expressão do gradiente, temos: ∇f(1,2,-1) = <4, 1, -2> Substituindo o vetor direção →w = -→i + 2→j - →k na fórmula da derivada direcional, temos: D→wf(x,y,z) = ∇f(x,y,z) . →w = <4, 1, -2> . <-1, 2, -1> = -4 + 2 - 2 = -4 Portanto, a derivada direcional da função f(x,y,z) = x² + xy + z² no ponto (1,2,-1) e na direção →w = -→i + 2→j - →k é igual a -4.