13) Seja φ(u) uma função diferenciável qualquer. A função f(x, y) = x^2φ(x/y) veri�ca a relação de Euler x∂f/∂x(x, y) + y∂f/∂y(x, y) = 2f? Por quê?

Para verificar se a função f(x, y) = x^2φ(x/y) satisfaz a relação de Euler, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e, em seguida, substituí-las na equação x∂f/∂x(x, y) + y∂f/∂y(x, y) = 2f. Começando com a derivada parcial em relação a x, temos: ∂f/∂x = 2xφ(x/y) + x^2(∂φ/∂u)(x/y)(-y/x^2) Agora, calculando a derivada parcial em relação a y, temos: ∂f/∂y = x^3(∂φ/∂u)(x/y)(1/y) Substituindo essas derivadas parciais na relação de Euler, temos: x∂f/∂x(x, y) + y∂f/∂y(x, y) = 2f x(2xφ(x/y) + x^2(∂φ/∂u)(x/y)(-y/x^2)) + y(x^3(∂φ/∂u)(x/y)(1/y)) = 2(x^2φ(x/y)) Simplificando, temos: 2x^2φ(x/y) - x^2y(∂φ/∂u)(x/y) + x^2y(∂φ/∂u)(x/y) = 2x^2φ(x/y) Observe que os termos com as derivadas parciais se cancelam, e a equação se reduz a: 2x^2φ(x/y) = 2x^2φ(x/y) Portanto, a relação de Euler é satisfeita para a função f(x, y) = x^2φ(x/y).