Veri�que que a mudança de variáveis u = x+ y e v = y + 2x transforma a equação ∂2z/∂x2 − 3∂2z/∂x∂y + 2∂2z/∂y2 = 0 em ∂2z/∂u∂v = 0. Determine, então...

A mudança de variáveis u = x + y e v = y + 2x pode ser obtida a partir das seguintes relações: x = (2v - u)/3 y = (u - v)/3 Podemos calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v usando a regra da cadeia: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as expressões para x e y em termos de u e v, obtemos: ∂z/∂u = (2∂z/∂x - ∂z/∂y)/3 ∂z/∂v = (-∂z/∂x + ∂z/∂y)/3 Podemos agora calcular as segundas derivadas em relação a u e v: ∂2z/∂u∂v = (∂/∂u)(∂z/∂v) = (∂/∂u)(-∂z/∂x + ∂z/∂y)/3 = (-2∂2z/∂x∂u + ∂2z/∂y∂u)/3 Substituindo as expressões para x e y em termos de u e v, obtemos: ∂2z/∂u∂v = (-2∂2z/∂x∂u + ∂2z/∂y∂u)/3 = (-2∂/∂x)(∂z/∂u) + (∂/∂y)(∂z/∂u))/3 = (-4∂2z/∂x2 + 2∂2z/∂x∂y)/3 Usando a equação original ∂2z/∂x2 − 3∂2z/∂x∂y + 2∂2z/∂y2 = 0, podemos substituir as derivadas parciais em termos de u e v para obter: (∂2z/∂x2 − 3∂2z/∂x∂y + 2∂2z/∂y2)/3 = (∂2z/∂u∂v)/9 Portanto, ∂2z/∂u∂v = 0 é uma solução da equação transformada. Uma coleção de soluções pode ser obtida a partir de qualquer função f(u) + g(v), onde f e g são funções arbitrárias de uma variável.