Veri�que que a mudança de variáveis x = s cos θ − t sin θ e y = s sin θ + t cos θ com θ constante, transforma a equação ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0 u = u...

Para verificar que a mudança de variáveis x = s cos θ − t sin θ e y = s sin θ + t cos θ com θ constante, transforma a equação ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0 u = u(x, y) em ∂2u/∂s2 + ∂2u/∂t2 = 0 u = u(s, t), podemos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais. Começamos encontrando as derivadas parciais de u em relação a s e t: ∂u/∂s = ∂u/∂x * ∂x/∂s + ∂u/∂y * ∂y/∂s ∂u/∂t = ∂u/∂x * ∂x/∂t + ∂u/∂y * ∂y/∂t Substituindo x e y pelas novas variáveis, temos: x = s cos θ − t sin θ y = s sin θ + t cos θ ∂x/∂s = cos θ ∂x/∂t = -sin θ ∂y/∂s = sin θ ∂y/∂t = cos θ Substituindo na equação das derivadas parciais de u em relação a s e t, temos: ∂u/∂s = cos θ * ∂u/∂x + sin θ * ∂u/∂y ∂u/∂t = -sin θ * ∂u/∂x + cos θ * ∂u/∂y Agora, encontramos as segundas derivadas parciais de u em relação a s e t: ∂2u/∂s2 = ∂/∂s (∂u/∂s) = ∂/∂s (cos θ * ∂u/∂x + sin θ * ∂u/∂y) = -sin θ * ∂u/∂x + cos θ * ∂u/∂y ∂2u/∂t2 = ∂/∂t (∂u/∂t) = ∂/∂t (-sin θ * ∂u/∂x + cos θ * ∂u/∂y) = -cos θ * ∂u/∂x - sin θ * ∂u/∂y Somando as duas equações, temos: ∂2u/∂s2 + ∂2u/∂t2 = -sin θ * ∂u/∂x + cos θ * ∂u/∂y - cos θ * ∂u/∂x - sin θ * ∂u/∂y = 0 Portanto, a equação ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0 u = u(x, y) é transformada em ∂2u/∂s2 + ∂2u/∂t2 = 0 u = u(s, t) pela mudança de variáveis x = s cos θ − t sin θ e y = s sin θ + t cos θ com θ constante.