15) Mostre que a mudança de variáveis x = e e y = ev transforma a equação x2∂2z∂x2+ y2∂2z∂y2+ x∂z∂x+ y∂z∂y= 1em ∂2z∂u2+∂2z∂v2= 1.

Para resolver essa questão, precisamos aplicar a mudança de variáveis x = e e y = ev na equação dada. Começamos substituindo x e y na equação: x2∂2z∂x2+ y2∂2z∂y2+ x∂z∂x+ y∂z∂y = ∂2z∂u2+∂2z∂v2 (e)^2∂2z∂(e)^2+ (ev)^2∂2z∂(ev)^2+ (e)∂z∂e+ (ev)∂z∂(ev) = ∂2z∂u2+∂2z∂v2 Simplificando a equação, temos: e^2∂2z∂e^2+ e^2v^2∂2z∂v^2+ e∂z∂e+ ev∂z∂v = ∂2z∂u2+∂2z∂v2 Agora, precisamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais em relação a u e v: ∂z∂u = ∂z∂e * ∂e∂u + ∂z∂(ev) * ∂(ev)∂u ∂z∂v = ∂z∂e * ∂e∂v + ∂z∂(ev) * ∂(ev)∂v Como e = x e ev = y, temos: ∂e∂u = ∂x∂u = 0 ∂e∂v = ∂x∂v = 0 ∂(ev)∂u = ∂y∂u = 0 ∂(ev)∂v = ∂y∂v = e Substituindo na equação, temos: ∂z∂u = 0 + e∂z∂v ∂z∂v = 0 + ev∂z∂e Agora, substituímos as derivadas parciais na equação original: e^2∂2z∂e^2+ e^2v^2∂2z∂v^2+ e∂z∂e+ ev∂z∂v = (∂2z∂u2+∂2z∂v2) e^2∂2z∂e^2+ e^2v^2∂2z∂v^2+ e∂z∂e+ ev(e∂z∂v) = (∂2z∂u2+∂2z∂v2) e^2∂2z∂e^2+ e^2v^2∂2z∂v^2+ e∂z∂e+ e^2v∂z∂v = (∂2z∂u2+∂2z∂v2) Agora, precisamos substituir e e ev pelas variáveis x e y novamente: x^2∂2z∂x^2+ y^2∂2z∂y^2+ x∂z∂x+ xy∂z∂y = ∂2z∂u2+∂2z∂v2 Por fim, substituímos a equação dada no enunciado: x^2∂2z∂x^2+ y^2∂2z∂y^2+ x∂z∂x+ xy∂z∂y = ∂2z∂u2+∂2z∂v2 = 1 Portanto, a mudança de variáveis x = e e y = ev transforma a equação x^2∂2z∂x^2+ y^2∂2z∂y^2+ x∂z∂x+ xy∂z∂y= 1 na equação ∂2z∂u2+∂2z∂v2= 1.