Determine se as funções abaixo são linearmente independentes no intervalo dado: 23. f1(x) = sqrt(x), f2(x) = x^2, I = (0,+∞); 27. f1(x) = e^x,...

Para determinar se as funções são linearmente independentes, precisamos verificar se a única combinação linear que as iguala é a trivial (ou seja, todos os coeficientes são iguais a zero). 23. Para as funções f1(x) = sqrt(x) e f2(x) = x^2, podemos escrever a combinação linear c1*f1(x) + c2*f2(x) = 0. Se isso for verdadeiro para todo x no intervalo (0, +∞), então c1 = c2 = 0. Derivando a equação, temos: c1/(2*sqrt(x)) + 2*c2*x = 0 Isso implica que c1 = c2 = 0, portanto, as funções são linearmente independentes. 27. Para as funções f1(x) = e^x, f2(x) = e^−x e f3(x) = e^4x, podemos escrever a combinação linear c1*f1(x) + c2*f2(x) + c3*f3(x) = 0. Derivando a equação, temos: c1*e^x - c2*e^(-x) + 4*c3*e^(4x) = 0 Podemos resolver esse sistema de equações para obter c1, c2 e c3. A solução é c1 = c2 = c3 = 0, portanto, as funções são linearmente independentes. 28. Para as funções f1(x) = x, f2(x) = x ln(x) e f3(x) = x^2 ln(x), podemos escrever a combinação linear c1*f1(x) + c2*f2(x) + c3*f3(x) = 0. Derivando a equação, temos: c1 + c2 ln(x) + c3 (2 ln(x) + 1) x = 0 Podemos resolver esse sistema de equações para obter c1, c2 e c3. A solução é c1 = c2 = c3 = 0, portanto, as funções são linearmente independentes.