Considere o ponto M = (1, −1) o centro de um quadrado ABCD, no qual um dos seus lados se encontra sobre a reta r : x − y = −2. Use esses dados para...

(a) Para determinar a equação cartesiana dos outros lados do quadrado, precisamos encontrar os pontos A, B, C e D. Sabemos que o ponto M é o centro do quadrado, então podemos usar a distância entre M e A (ou B, C, D) para encontrar as coordenadas desses pontos. Como o quadrado tem lados iguais, a distância entre M e A (ou B, C, D) é igual à distância entre M e B (ou C, D, A). Podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar essa distância: d² = (distância entre M e A)² = (distância entre M e B)² = (distância entre M e C)² = (distância entre M e D)² d² = (1 - (-1))² + (-1 - 1)² = 4 d = 2√2 Agora podemos encontrar as coordenadas dos pontos A, B, C e D: A = (1 + d, -1) = (1 + 2√2, -1) B = (1, -1 + d) = (1, -1 + 2√2) C = (1 - d, -1) = (1 - 2√2, -1) D = (1, -1 - d) = (1, -1 - 2√2) Para encontrar a equação cartesiana dos lados do quadrado, podemos usar a equação da reta que passa por dois pontos: AB: y + 1 = (2√2)/(1 + 2√2) (x - 1 - 2√2) BC: y - (-1 + 2√2) = (-1 - 2√2)/(1 + 2√2) (x - 1) CD: y + 1 = (2√2)/(1 + 2√2) (x - 1 + 2√2) DA: y - (-1 - 2√2) = (-1 - 2√2)/(1 + 2√2) (x - 1) (b) As coordenadas dos vértices A, B, C e D são: A = (1 + 2√2, -1) B = (1, -1 + 2√2) C = (1 - 2√2, -1) D = (1, -1 - 2√2) (c) Para calcular a área do quadrado ABCD usando vetores, podemos usar a fórmula: área = |AB|² = |BC|² = |CD|² = |DA|² Podemos encontrar os vetores AB, BC, CD e DA usando as coordenadas dos pontos: AB = (1 + 2√2 - 1, -1 - (-1)) = (2√2, 0) BC = (1 - 1, -1 + 2√2 - (-1)) = (0, 2√2) CD = (1 - 2√2 - 1, -1 - (-1)) = (-2√2, 0) DA = (1 - 1, -1 - (-1 - 2√2)) = (0, 2√2) Então, a área do quadrado ABCD é: área = |AB|² = |2√2, 0|² = (2√2)² + 0² = 8