Considere as retas r : 3x − y = −9 e m : { x = 3t y = 1 + t , ∀t ∈ R, e o ponto A = (1, −4) para resolver os seguintes items. (a) Determine as equa...

(a) As equações paramétricas da reta r são: x = t y = 3t - 9 (b) A equação da circunferência é: (x + 5)² + (y + 6)² = 40 Explicação: (a) Para encontrar as equações paramétricas da reta r, basta isolar t em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos: 3x - y = -9 3t = x + 9 t = (x + 9)/3 Substituindo t na outra equação: y = 3t - 9 y = 3(x + 9)/3 - 9 y = x Portanto, as equações paramétricas da reta r são x = t e y = 3t - 9. (b) Sabemos que o centro da circunferência pertence à reta r, então podemos escrever a equação da reta que passa pelos pontos A e P: x = -3t - 2 y = t - 4 Substituindo essas equações na equação da circunferência, temos: (-3t - 2 + 5)² + (t - 4 + 6)² = 40 (-3t + 3)² + (t + 2)² = 40 10t² - 12t - 7 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: t = (-(-12) ± √((-12)² - 4*10*(-7))) / (2*10) t = (6 ± √19)/5 Substituindo t na equação da reta, encontramos os pontos A e P: A = (1, -4) P = (-3, 0) Sabemos que o centro da circunferência é o ponto médio entre A e P, então: x = (-3 + 1)/2 = -1 y = (0 - 4)/2 = -2 Portanto, o centro da circunferência é (-1, -2) e o raio é a distância entre o centro e A (ou P): r = √[(1 - (-1))² + (-4 - (-2))²] = 2√10 Assim, a equação da circunferência é (x + 1)² + (y + 2)² = 40.