Considere a reta do plano r : { x = 2t y = −2t + 1 , t ∈ R e o ponto P = (1, 3) para responder as questões 1, 2 e 3: Questão 1 [1,5 ponto]: Deter...

Para a Questão 1: As equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r são: x = 2t + 1 y = 2t - 1 As equações cartesianas da reta s são: y = 2x + 1 Para a Questão 2: Para mostrar que as retas r e m são concorrentes, é necessário verificar se elas são diferentes e não paralelas. A reta m tem equação cartesiana -3x + y = 1, que pode ser escrita como y = 3x + 1. Comparando com a equação paramétrica da reta r, podemos ver que elas são diferentes e não paralelas, portanto, as retas r e m são concorrentes. Para a Questão 3: Para encontrar o ponto de interseção Q entre r e m, basta igualar as equações paramétricas de r e a equação cartesiana de m: 2t = -3x + 1 -2t + 1 = y Substituindo o valor de t na segunda equação, temos: -2(-3x + 1) + 1 = y Simplificando, temos: y = 6x - 5 Substituindo o valor de y na primeira equação, temos: 2t = -3x + 1 t = (-3/2)x + 1/2 Substituindo o valor de t na equação paramétrica de r, temos: x = 2((-3/2)x + 1/2) = -3x + 1 Resolvendo para x, temos: x = 1/4 Substituindo o valor de x na equação paramétrica de r, temos: y = -2(1/4) + 1 = 1/2 Portanto, o ponto de interseção Q entre r e m é Q = (1/4, 1/2). Para a Questão 4: Para encontrar o ponto R de intersecção entre r e o eixo OX, basta igualar y a zero na equação paramétrica de r: -2t + 1 = 0 t = 1/2 Substituindo o valor de t na equação paramétrica de r, temos: x = 2(1/2) = 1 y = -2(1/2) + 1 = 0 Portanto, o ponto R é R = (1, 0). A área do triângulo PQR pode ser encontrada usando a fórmula da área do triângulo: Área = |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))/2| Substituindo os valores, temos: Área = |(1(1/2 - 0) + 1/4(0 - 3) + 2(0 - 1/2))/2| = 7/8 Para a Questão 5: Para encontrar a projeção ortogonal w do vetor AB sobre a reta r, precisamos encontrar o vetor unitário u na direção de r. O vetor u pode ser encontrado normalizando o vetor diretor de r: u = (2/sqrt(8), -2/sqrt(8)) O vetor AB pode ser decomposto em uma componente paralela a r e uma componente perpendicular a r: AB = w + v Onde w é a projeção ortogonal de AB sobre r e v é a componente perpendicular de AB em relação a r. A componente paralela de AB em relação a r é dada por: w = (AB.u)u Substituindo os valores, temos: w = ((2-1)(2/sqrt(8)) + (3-1)(-2/sqrt(8))) (2/sqrt(8), -2/sqrt(8)) w = (2/sqrt(8), -2/sqrt(8)) Portanto, a projeção ortogonal w do vetor AB sobre a reta r é w = (2/sqrt(8), -2/sqrt(8)).