Considere os pontos A = (−2, −3) e G = (0, 4/3) e o vetor −−→ BC = (6, −1) para resolver os seguintes items. (a) Determine as coordenadas dos ve...

(a) Para encontrar as coordenadas dos vértices B e C do triângulo ABC, podemos usar a propriedade do baricentro, que diz que o baricentro de um triângulo divide cada mediana em duas partes, sendo uma delas igual a dois terços da mediana e a outra igual a um terço da mediana. Assim, podemos encontrar as coordenadas de B e C da seguinte maneira: - Encontrar as coordenadas do ponto médio M da reta BC: M = (B + C)/2 M = ((-2, -3) + C)/2 M = (C - 2, -3/2) - Sabendo que G é o baricentro do triângulo ABC, podemos encontrar as coordenadas do ponto C: C = 3G - 2M C = 3(0, 4/3) - 2(C - 2, -3/2) C = (0, 4) - (3C - 6, -9/2) C = (-3C + 6, 17/2) 4 = -3C + 6 C = (2/3, 5/3) - Agora podemos encontrar as coordenadas do ponto B: B = 3G - 2M B = 3(0, 4/3) - 2(B - 2, -3/2) B = (0, 4) - (3B - 6, -9/2) B = (-3B + 6, 17/2) 4 = -3B + 6 B = (4/3, -1/3) Portanto, as coordenadas dos vértices B e C do triângulo ABC são B = (4/3, -1/3) e C = (2/3, 5/3), respectivamente. (b) Para encontrar o ângulo θ entre os vetores AB e AC, podemos usar a fórmula do produto escalar: AB · AC = ||AB|| ||AC|| cos θ Onde ||AB|| e ||AC|| são as normas dos vetores AB e AC, respectivamente. Como AB = B - A e AC = C - A, podemos calcular: AB = (4/3 + 2, -1/3 + 3) = (10/3, 8/3) AC = (2/3 + 2, 5/3 + 3) = (8/3, 14/3) ||AB|| = sqrt((10/3)^2 + (8/3)^2) = 2sqrt(10)/3 ||AC|| = sqrt((8/3)^2 + (14/3)^2) = 2sqrt(5) AB · AC = (10/3)(8/3) + (8/3)(14/3) = 104/9 Portanto, cos θ = (AB · AC) / (||AB|| ||AC||) = (104/9) / (2sqrt(10)/3 * 2sqrt(5)) = 4sqrt(2)/15 Assim, θ = arccos(4sqrt(2)/15) ≈ 0,98 rad ≈ 56,1°. (c) Para encontrar a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula da área do triângulo: A = (1/2) ||AB x AC|| Onde AB x AC é o produto vetorial entre os vetores AB e AC. Como AB = (10/3, 8/3) e AC = (8/3, 14/3), podemos calcular: AB x AC = (10/3)(14/3) - (8/3)(8/3) = 4/3 Assim, A = (1/2) ||AB x AC|| = (1/2) |4/3| = 2/3. Portanto, a área do triângulo ABC é A = 2/3.