AD1 GEOMETRIA ANALÍTICA 2022.2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
1a Avaliação a Distância - GABARITO
2o Semestre de 2022
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,0 pontos] Considere os pontos A = (−2, −3) e G = (0, 43) e o vetor
−−→
BC = (6, −1)
para resolver os seguintes items.
(a) [1,0 ponto] Determine as coordenadas dos vértices B e C do triângulo ABC sabendo que o
ponto G é o seu baricentro.
Solução:
Consideremos as coordenadas dos pontos B = (b1, b2) e C = (c1, c2).
Usando a fórmula do baricentro para G = (0, 43), e substituindo os dados temos
G =
(−2 + b1 + c1
3 ,
−3 + b2 + c2
3
)
(
0, 43
)
=
(−2 + b1 + c1
3 ,
−3 + b2 + c2
3
)
,
o qual implica
0 = −2 + b1 + c13 e
4
3 =
−3 + b2 + c2
3
0 = −2 + b1 + c1 e 4 = −3 + b2 + c2.
Logo, b1 + c1 = 2 e b2 + c2 = 7.
Por outro lado,
−−→
BC = (c1 − b1, c2 − b2)
(6, −1) = (c1 − b1, c2 − b2).
Logo, c1 − b1 = 6 e c2 − b2 = −1.
Para encontrar os valores de b1, b2, c1 e c2 devemos resolver os seguintes sistemas de equações:{
b1 + c1 = 2
c1 − b1 = 6
e
{
b2 + c2 = 7
c2 − b2 = −1.
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Os quais tem por solução, b1 = −2, c1 = 4, b2 = 4 e c2 = 3, e assim:
B = (−2, 4) e C = (4, 3).
(b) [1,0 ponto] Determine o ângulo θ entre os vetores
−→
AB e
−→
AC.
Solução:
Usando as coordenadas dos pontos B e C achados no item anterior temos:
−→
AB = (−2 − (−2), 4 − (−3)) = (0, 7)
−→
AC = (4 − (−2), 3 − (−3)) = (6, 6) e
||
−→
AB|| =
√
02 + 72 = 7
||
−→
AC|| =
√
62 + 62 =
√
72 = 6
√
2.
Substituindo em ⟨
−→
AB,
−→
AC⟩ = ||−→AB||||−→AC|| cos θ, temos:
⟨(0, 7), (6, 6)⟩ = 7.6
√
2 cos θ
42 = 42
√
2 cos θ
1√
2
= cos θ,
logo, θ = π4 .
(c) [1,0 ponto] Determine a área do triângulo ABC.
Solução:
Do item anterior anterior podemos considerar os vetores
−→
AB = (0, 7) e −→AC = (6, 6) para
determinar a área do triângulo ABC. Usando a fórmula de área temos:
ÁreaTABC =
|det(−→AB, −→AC)|
2
= |6.0 − 7.6|2
= | − 42|2
= 21.
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Geometria Anaĺıtica I AD1 2/2022
Questão 2 [3,5 pontos] Considere o paralelogramo ABCD onde
−→
AB = (2, −4) e M = (2, 1) é
ponto médio do lado DC, para responder os seguintes items.
(a) [1,0 ponto] Determine as coordenadas dos vértices C e D.
Solução:
Para os vértices A, B, C, e D do paralelogramo ABCD, temos que os vetores
−→
AB e
−−→
DC são
equipolentes.
Logo,
−−→
DC = (2, −4).
Consideremos as coordenadas dos pontos C = (c1, c2) e D = (d1, d2), assim:
−−→
DC = (c1 − d1, c2 − d2) = (2, −4), logo c1 − d1 = 2 e c2 − d2 = −4.
Como M é ponto médio do lado DC, temos:
M = (c1 + d12 ,
c2 + d2
2 )
(2, 1) = (c1 + d12 ,
c2 + d2
2 )
2 = c1 + d12 e 1 =
c2 + d2
2
logo c1 + d1 = 4 e c2 + d2 = 2.
Para encontrar os valores de c1, c2, d1 e d2, devemos resolver os seguintes sistemas de equações:{
c1 − d1 = 2
c1 + d1 = 4
e
{
c2 − d2 = −4
c2 + d2 = 2.
Os quais tem por solução: c1 = 3, c2 = −1, d1 = 1 e d2 = 3, e assim, C = (3, −1) e
D = (1, 3).
(b) [2,5 pontos] Se
−−→
AM é perpendicular ao vetor
−−→
DC e ||
−−→
AM || =
√
5. Determine as coordenadas
dos vértices A e B.
Solução:
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Um vetor perpendicular ao vetor
−−→
DC, é o vetor −→w = (4, 2). Como o vetor −−→AM é perpendicular
ao vetor
−−→
DC, então
−−→
AM é paralelo ao vetor −→w , assim existe λ ∈ R tal que
−−→
AM = λ−→w .
Pelas propiedades de norma de um vetor temos:
||
−−→
AM || = ||λ−→w ||
= |λ|||−→w ||.
Sabemos que ||−→w || =
√
42 + 22 =
√
4 + 16 =
√
20 = 2
√
5 e por substituição temos:
||
−−→
AM || = |λ|||−−→DC||
√
5 = |λ|2
√
5 ⇐⇒ 12 = |λ|.
Logo, λ = 12 ou λ = −
1
2 .
Suponha as coordenadas do ponto A = (a1, a2), e substituindo em
−−→
AM = λ−→w .
• Para λ = 12 temos:
−−→
AM = λ−→w
(2 − a1, 1 − a2) =
1
2(4, 2)
logo, 2 − a1 =
1.4
2 e 1 − a2 =
1.(2)
2 .
Assim, a1 = 0 e a2 = 0, e A = (0, 0). E se B = (b1, b2), temos:
−→
AB = (2, −4)
(b1 − 0, b2 − 0) = (2, −4)
B = (b1, b2) = (2, −4).
• Para λ = −12 temos:
−−→
AM = λ−−→DC
(2 − a1, 1 − a2) =
−1
2 (4, 2)
logo, 2 − a1 =
(−1).4
2 e 1 − a2 =
(−1).(2)
2 .
Assim, a1 = 4 e a2 = 2, e A = (4, 2). E se B = (b1, b2), temos:
−→
AB = (2, −4)
(b1 − 4, b2 − 2) = (2, −4)
b1 − 4 = 2 e b2 − 2 = −4
b1 = 6 e b2 = −2.
Logo, B = (6, −2).
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Questão 3 [3,5 pontos] Considere as retas r : 3x − y = −9 e m :
{
x = 3t
y = 1 + t , ∀t ∈ R, e o
ponto A = (1, −4) para resolver os seguintes items.
(a) [1,0 ponto] Determine as equações paramétricas da reta r.
Solução:
Sabemos que as coordenadas de um vetor perpendicular para a reta r são dados pelos coefici-
entes da sua equação cartesiana, assim temos o vetor −→w = (3, −1) é um vetor perpendicular
para a reta r, logo um vetor parelo para essa reta é dado pelo vetor −→v = (1, 3).
Um ponto pertencente à reta r é o qual as suas coordenadas satisfazem a equação dela. Assim
podemos considerar o ponto de passo B = (0, 9).
Usando o vetor paralelo −→v e o ponto de passo B, podemos escrever as equações paramétricas
da reta r da seguinte form: r :
{
x = 0 + t
y = 9 + 3t , ∀t ∈ R.
(b) [2,5 pontos] Determine a equação da circunferência sabendo que o seu centro pertence à reta
r e a circunferência contem os pontos A e P = m ∩ r.
Solução:
Primeiramente vamos a encontrar as coordenadas do ponto P = m ∩ r. Como P ∈ m, então
P = (3t, 1 + t) para algum t ∈ R.
Também, como P ∈ r, então as coordenadas de P devem satisfazer a equação cartesiana de
r. Assim, substituindo temos:
3(3t) − (1 + t) = −9
9t − 1 − t = −9
8t = −8
t = −1.
Logo, P=(3(-1), 1-1)=(-3,0).
Por outro lado, como o centro da circunferência pertence à reta r, as coordenadas do centro
devem satisfazer as equações da reta r. Suponha as coordenadas do centro C = (a, b), se
usarmos a equação cartesiana, então devem satisfazer 3a − b = −9 ⇐⇒ b = 3a + 9.
Assim podemos escrever as coordenadas na forma C = (a, 3a + 9), onde a ∈ R.
Para encontrar o valor de a usamos o fato que os pontos A e P pertencem à circunferência, e
temos assim:
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d(C, A) = d(C, P )√
(a − 1)2 + (3a + 9 + 4)2 =
√
(a − (−3))2 + (3a + 9 − 0)2
(a − 1)2 + (3a + 13)2 = (a + 3)2 + (3a + 9)2
76a + 170 = 60a + 90
16a = −80
a = −5.
Logo, as coordenadas do centro são:
C = (a, 3a + 9)
C = (−5, 3(−5) + 9)
C = (−5, −6).
Para determinar o raio da circunferência, usamos o fato que a distância entre o centro e
qualquer um dos pontos A ou P é o valor do raio.
Assim:
d(C, A) = r√
(−5 − 1)2 + (−6 + 4)2 = r√
(−6)2 + (−2)2 = r
√
40 = r
2
√
10 = r
Logo, a equação da circunferência é:
C : (x + 5)2 + (y + 6)2 = 40.
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