Assinale o número racional que sabemos, mesmo sem resolver a equação 15x4 - 5x2 - 12 = 0, que não pode ser uma de suas raízes.              2/3    ...

Podemos utilizar o Teorema de Descartes para encontrar o número racional que não pode ser uma das raízes da equação 15x^4 - 5x^2 - 12 = 0. Esse teorema nos diz que o número de raízes positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da equação ou é menor que esse número por um número par. No caso da equação dada, temos dois sinais positivos e duas mudanças de sinal, então o número de raízes positivas é 2 ou 0. Como a equação é de grau par, o número de raízes negativas é igual ao número de raízes positivas ou é menor que esse número por um número par. Portanto, a equação tem 2 ou 0 raízes negativas. Como a equação tem coeficientes racionais, se uma raiz é irracional, então ela é também uma raiz irredutível. Portanto, se a equação tem uma raiz racional, então ela é uma raiz inteira. Podemos testar as opções dadas para ver se alguma delas é uma raiz inteira da equação. Se x = 2/3, então 15x^4 - 5x^2 - 12 = 15(2/3)^4 - 5(2/3)^2 - 12 = 0, portanto 2/3 não pode ser uma das raízes da equação. Se x = 3/2, então 15x^4 - 5x^2 - 12 = 15(3/2)^4 - 5(3/2)^2 - 12 = 0, portanto 3/2 é uma das raízes da equação. Se x = 6/5, então 15x^4 - 5x^2 - 12 = 15(6/5)^4 - 5(6/5)^2 - 12 = 0, portanto 6/5 é uma das raízes da equação. Se x = 4/5, então 15x^4 - 5x^2 - 12 = 15(4/5)^4 - 5(4/5)^2 - 12 = 0, portanto 4/5 é uma das raízes da equação. Se x = 4/3, então 15x^4 - 5x^2 - 12 = 15(4/3)^4 - 5(4/3)^2 - 12 = 0, portanto 4/3 é uma das raízes da equação. Portanto, a única opção que não pode ser uma das raízes da equação é 2/3.