Suponha um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. Seja X o número de sucessos, e considere os estimador...

(a) Para calcular a esperança e a variância de cada estimador, temos: pˆ1: E(pˆ1) = E(X/n) = p Var(pˆ1) = Var(X/n) = p(1-p)/n pˆ2: E(pˆ2) = P(primeira prova é sucesso) = p Var(pˆ2) = p(1-p) (b) O estimador pˆ2 não é um "bom" estimador porque sua variância é maior do que a do estimador pˆ1. Além disso, ele é um estimador enviesado, pois só considera o resultado da primeira prova. (c) Para verificar se os estimadores são consistentes, precisamos mostrar que eles convergem em probabilidade para o parâmetro p. Temos: pˆ1: P(|pˆ1 - p| >= ε) = P(|X/n - p| >= ε) <= Var(X/n)/ε^2 = p(1-p)/(nε^2) Portanto, dado ε > 0, podemos escolher n grande o suficiente para que p(1-p)/(nε^2) < δ, onde δ é uma constante positiva pequena. Isso implica que P(|pˆ1 - p| >= ε) < δ, ou seja, pˆ1 converge em probabilidade para p. pˆ2: P(|pˆ2 - p| >= ε) = P(primeira prova não é sucesso) <= (1-p)^n Portanto, dado ε > 0, podemos escolher n grande o suficiente para que (1-p)^n < δ, onde δ é uma constante positiva pequena. Isso implica que P(|pˆ2 - p| >= ε) < δ, ou seja, pˆ2 converge em probabilidade para p. No entanto, como mencionado anteriormente, pˆ2 é enviesado, o que significa que não é um "bom" estimador.