a) Vamos pegar a operação mais simples: ????(1,0,0) = (3,4). A princípio, parece que ????(????, ????, ????) = (3????, 4????). Pegando a outra operação: ????(1,1,0)...

a) Vamos pegar a operação mais simples: ????(1,0,0) = (3,4). A princípio, parece que ????(????, ????, ????) = (3????, 4????). Pegando a outra operação: ????(1,1,0) = (2,3). Agora, parece que ????(????, ????, ????) = (3???? − ????, 4???? − ????). Pegando a última operação ????(1,1,1) = (1,2). Então, a transformação linear é: ????(????, ????, ????) = (3???? − ???? − ????, 4???? − ???? − ????). b) Temos que resolver o seguinte sistema de equações: {3???? − ???? − ???? = −3, 4???? − ???? − ???? = −2}. Fazendo por soma, multiplicando a primeira linha por -1: ???? = 1. Substituindo na primeira linha: 3 − ???? − ???? = −3. 6 = ???? + ????. Substituindo na segunda linha: 6 = ???? + ????. Y e z estão indeterminados. Escolhendo arbitrariamente y =3 e z =3. ????(�⃗�) = (1,3,3). Como não há termos independentes na transformação: ????(�⃗�) = (0,0,0). a) Temos que a base A já está transformada pela base B, sendo essas transformações expressas nas colunas da matriz: ????(−1,1) = (3,2,1)???? e ????(1,0) = (1,5, −1)????. Bom, a base B é ???? = {(1,1,−1), (2,1,0), (3,0,1)} e: ????(−1,1) = 3(1,1,−1) + 2(2,1,0) + 1(3,0,1) = (10,5, −2) e ????(1,0) = 1(1,1,−1) + 5(2,1,0) − 1(3,0,1) = (8,6,−2). Precisamos encontrar essas transformações na base canônica do ℝ² ???? = {(1,0), (0,1)}. Como já temos a transformação para ????(1,0), podemos usar a propriedade da soma para encontrar ????(0,1): ????(−1,1) + ????(1,0) = ????(0,1). (10,5,−2) + (8,6,−2) = (18,11,−4). Então, temos: ????(????, ????) = ????????(1,0) + ????????(0,1) = (8????, 6????,−2????) + (18????, 11????,−4????) = (8???? + 18????, 6???? + 11????,−2???? − 4????). Essa é a transformação linear pedida. E a matriz de transformação T será: ???? = [8 18, 6 11, −2 −4]. b) Para encontrar o núcleo, precisamos zerar a imagem da transformação linear (8???? + 18????, 6???? + 11????,−2???? − 4????) = (0,0,0). Como não há elementos independentes: ????????????(????) = (???? = 0, ???? = 0). c) ????−1(????, ????) = (−????/2 + √3????/2, √3????/2 + ????/2).
a
b
c
A transformação linear é ????(????, ????, ????) = (3???? − ???? − ????, 4???? − ???? − ????).
O núcleo da transformação linear é (???? = 0, ???? = 0).
A transformação inversa é ????−1(????, ????) = (−????/2 + √3????/2, √3????/2 + ????/2).
a) V, V, V.
b) F, V, F.
c) V, F, V.
d) F, F, F.