Seja T: R3 R2 uma transformação linear e B = (v1, v2, v3) uma base do 3, sendo ₁ = (0,1,0) 2 = (1,0,1) v = (1,1,0). Determine T (5, 3,-2), sabendo ...

Para resolver esse problema, precisamos encontrar as coordenadas do vetor (5, 3, -2) na base B e, em seguida, aplicar a transformação linear T. Primeiro, encontramos as coordenadas do vetor (5, 3, -2) na base B. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações: ``` a * (0, 1, 0) + b * (1, 0, 1) + c * (1, 1, 0) = (5, 3, -2) ``` Isso nos dá o sistema de equações: ``` b + c = 5 a + c = 3 b = -2 ``` Resolvendo esse sistema, encontramos: ``` a = 1 b = -2 c = 4 ``` Portanto, as coordenadas do vetor (5, 3, -2) na base B são (1, -2, 4). Agora, podemos aplicar a transformação linear T. Sabemos que T(v3) = (0, 2), então as coordenadas de v3 na base canônica são (0, 0, 1). Como T é uma transformação linear, podemos escrever: ``` T(v3) = T(0 * v1 + 0 * v2 + 1 * v3) = 0 * T(v1) + 0 * T(v2) + 1 * T(v3) ``` Isso nos dá a equação: ``` T(1, 1, 0) = (0, 2) ``` Podemos escrever o vetor (1, 1, 0) como uma combinação linear da base B: ``` (1, 1, 0) = 1 * (0, 1, 0) + 1 * (1, 0, 1) + 0 * (1, 1, 0) ``` Portanto, podemos escrever: ``` T(0, 1, 0) + T(1, 0, 1) = (0, 2) ``` Sabemos que T(0, 1, 0) é a primeira coordenada de T(5, 3, -2) e que T(1, 0, 1) é a segunda coordenada de T(5, 3, -2). Portanto, podemos escrever: ``` T(5, 3, -2) = (T(0, 1, 0), T(1, 0, 1)) ``` Agora, precisamos encontrar T(0, 1, 0) e T(1, 0, 1). Sabemos que (v) = (1, -2), então as coordenadas de v na base canônica são (1, -2). Como T é uma transformação linear, podemos escrever: ``` T(v) = T(1 * v1 + (-2) * v2 + 0 * v3) = 1 * T(v1) + (-2) * T(v2) + 0 * T(v3) ``` Isso nos dá a equação: ``` T(0, 1, 0) - 2 * T(1, 0, 1) = (1, -2) ``` Sabemos que Τ(12) = (3, 1), então as coordenadas de (12) na base canônica são (12, 0). Podemos escrever: ``` T(12, 0, 0) = (3, 1) ``` Como (12, 0, 0) = 12 * (1, 0, 0) + 0 * (0, 1, 0) + 0 * (0, 0, 1), podemos escrever: ``` T(12, 0, 0) = 12 * T(1, 0, 0) + 0 * T(0, 1, 0) + 0 * T(0, 0, 1) ``` Isso nos dá a equação: ``` T(1, 0, 0) = (1/4, 1/12) ``` Agora, podemos resolver o sistema de equações: ``` T(0, 1, 0) - 2 * T(1, 0, 1) = (1, -2) T(1, 0, 0) = (1/4, 1/12) ``` Isso nos dá: ``` T(0, 1, 0) = (5/4, 5/12) T(1, 0, 1) = (-3/4, -1/12) ``` Portanto, a resposta é: ``` T(5, 3, -2) = (5/4, -3/4) ```