4. Considere a distribuição Binomial P (X = k) = N !(N − k)!k!pkqN−k. (1) (a) Mostre que esta distribuição está normalizada; (b) Mostre que 〈X...

(a) Para mostrar que a distribuição está normalizada, precisamos verificar se a soma de todas as probabilidades possíveis é igual a 1. Podemos fazer isso somando a distribuição binomial de k = 0 até k = N: ∑ P(X=k) = ∑ [N!/(N-k)!k!] * p^k * q^(N-k) = (p+q)^N = 1 Portanto, a distribuição está normalizada. (b) Para mostrar que 〈X〉 = Np, podemos calcular a média da distribuição binomial: 〈X〉 = ∑ k * P(X=k) = ∑ k * [N!/(N-k)!k!] * p^k * q^(N-k) Podemos reescrever a expressão acima como: 〈X〉 = N * [∑ k=1 até N] [ (N-1)!/((N-1)-(k-1))!(k-1)! ] * p^(k-1) * q^(N-k) Fazendo a substituição k' = k-1, temos: 〈X〉 = N * [∑ k'=0 até N-1] [ (N-1)!/((N-1)-k')!k'! ] * p^k' * q^(N-1-k') Essa soma é igual a (p+q)^(N-1), que é igual a Np. Portanto, 〈X〉 = Np. (c) Para mostrar que Var(X) = Npq, podemos calcular a variância da distribuição binomial: Var(X) = ∑ (k-〈X〉)^2 * P(X=k) = ∑ k^2 * P(X=k) - 〈X〉^2 Podemos reescrever a expressão acima como: Var(X) = N * [∑ k=1 até N] [ (N-1)!/((N-1)-(k-1))!(k-1)! ] * p^k * q^(N-k) - N^2p^2 Fazendo a substituição k' = k-1, temos: Var(X) = N * [∑ k'=0 até N-1] [ (N-1)!/((N-1)-k')!k'! ] * p^k' * q^(N-1-k') - N^2p^2 Essa soma é igual a (p+q)^(N-1) * pq, que é igual a Npq. Portanto, Var(X) = Npq. (d) Para mostrar que o desvio relativo (σ/〈X〉) é proporcional a 1/√N, podemos calcular o desvio padrão da distribuição binomial: σ = √Var(X) = √(Npq) Portanto, o desvio relativo é: σ/〈X〉 = √(Npq)/(Np) = √(q/p)/√N Como p+q=1, podemos reescrever a expressão acima como: σ/〈X〉 = √(q/p)/√N = √(1/p - 1)/√N Usando a aproximação de Taylor para p próximo de 1, temos: σ/〈X〉 ≈ √(1/p - 1)/√N ≈ √(1 - p)/√N ≈ √q/√N Portanto, o desvio relativo é proporcional a 1/√N.