6. Considere a distribuição Gaussiana P (X = x) = Ce−(x−µ)2/2σ2. (3) (a) Pela normalização, determine C; (b) Faça um gráfico de P (X = x) em ...

(a) Para determinar C, é necessário normalizar a distribuição Gaussiana, ou seja, garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. Assim, temos: 1 = ∑ P(X = x) = ∑ Ce^(-(x-µ)^2/2σ^2) Utilizando a propriedade da integral da distribuição Gaussiana, temos: 1 = C ∫ e^(-(x-µ)^2/2σ^2) dx Fazendo a substituição u = (x-µ)/σ, temos: 1 = C σ ∫ e^(-u^2/2) du A integral acima é conhecida como integral de Gauss e seu valor é igual a √(2π). Assim, temos: 1 = C σ √(2π) Logo, C = 1/(σ √(2π)) (b) O gráfico de P(X = x) em função de x é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao ponto µ. O ponto mais alto da curva é justamente µ e a largura da curva é determinada pelo desvio padrão σ. (c) O valor esperado de uma distribuição Gaussiana é igual a µ. No gráfico anterior, o valor esperado é o ponto mais alto da curva, que corresponde a µ. (d) A variância de uma distribuição Gaussiana é igual a σ^2. No gráfico anterior, a variância é representada pela largura da curva, que é determinada pelo desvio padrão σ.