callen cap 15 15-3

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15-3 O SISTEMA DE DOIS ESTADO 
 Outro modelo que ilustra os princípios da mecânica estatística de maneira simples e 
transparente é o "modelo de dois estados". Neste modelo, cada "átomo" pode estar em seu 
"estado fundamental" (com energia zero) ou em seu "estado excitado" (com energia 𝜀). 
 Para evitar conflitos com certos teoremas gerais sobre espectros de energia, 
assumimos que cada átomo tem estados adicionais, mas essa energia é tão alta que excede a 
energia total do sistema em consideração. Tais estados são então inacessíveis ao sistema e não 
precisam ser considerados no cálculo. 
 Se U é a energia do sistema, então os átomos de U/ 𝜀 estão no estado excitado e os 
átomos (�̃� − 
𝑈
 𝜀
) estão no estado fundamental. O número de formas de escolher U/ 𝜀 átomos 
do número total 𝑁 é 
 
A entropia é assim sendo 
 
ou, invocando a aproximação de Stirling (equação 15.3) 
 
Mais uma vez, por causa da artificialidade do modelo. a equação fundamental é independente 
do volume. A equação térmica do estado é facilmente calculada para ser 
 
 Lembrando que o cálculo está sujeito à condição U < �̃�𝜀, observamos que a 
temperatura é um número propriamente positivo. Resolvendo a energia 
 
A energia se aproxima de 
�̃�𝜀
2
 à medida que a temperatura se aproxima do infinito neste 
modelo (embora devamos lembrar que estados adicionais de alta energia alterariam as 
propriedades de alta temperatura). Na temperatura infinita, metade dos átomos são excitados 
e metade estão no estado fundamental. 
 A capacidade calorifica molar é 
 
Um gráfico dessa dependência de temperatura é mostrado na Fig. 15.3. A capacidade 
térmica do molar é zero tanto a temperaturas muito baixas quanto em altíssimas 
temperaturas, com pico na região de 𝑘𝑏𝑇 = 42𝜀. Este comportamento é conhecido como um 
"Schottky hump". Um máximo, quando observado em dados empíricos, é tomado como uma 
indicação de um par de estados de baixa energia, com todos os outros estados de energia 
encontrando-se em energias consideravelmente mais altas. Este é um exemplo do modo pelo 
qual as propriedades térmicas podem revelar informações sobre a estrutura atômica dos 
materiais.