Determine os pontos críticos e a classificação que eles recebem para a função f(x,y) = 3xy^2 + x^3 - 3x. Na sequência, trace a representação gráfic...

Para determinar os pontos críticos da função f(x,y) = 3xy^2 + x^3 - 3x, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero: fx = 3y^2 + 3x^2 - 3 = 0 fy = 6xy = 0 A partir da segunda equação, temos duas possibilidades: xy = 0 ou y = 0. Se xy = 0, então x = 0 ou y = 0. Substituindo x = 0 na primeira equação, temos y^2 - 1 = 0, o que implica em y = 1 ou y = -1. Se y = 0, então x^2 - 1 = 0, o que implica em x = 1 ou x = -1. Portanto, os pontos críticos são: (-1,0), (0,-1), (0,0), (1,0) e (0,1). Para classificar esses pontos, precisamos calcular a matriz Hessiana: H = [6x 6y] [6y 6x] Substituindo os pontos críticos na matriz Hessiana, temos: H(-1,0) = [-6 0] [0 -6] H(0,-1) = [0 -6] [-6 0] H(0,0) = [0 0] [0 0] H(1,0) = [6 0] [0 6] H(0,1) = [0 6] [6 0] Os pontos críticos (-1,0) e (0,-1) são pontos de máximo local, pois a matriz Hessiana é negativa definida nesses pontos. O ponto crítico (1,0) é um ponto de mínimo local, pois a matriz Hessiana é positiva definida nesse ponto. O ponto crítico (0,0) não pode ser classificado pela matriz Hessiana, então precisamos usar outro método. Observando a função, podemos ver que f(x,y) = -3x quando y = 0 e f(x,y) = x^3 quando x = 0. Portanto, o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela. Para traçar a representação gráfica da função no GeoGebra, podemos seguir os seguintes passos: 1. Abra o GeoGebra e selecione a janela de visualização 3D. 2. Digite a função f(x,y) = 3xy^2 + x^3 - 3x na barra de entrada. 3. Clique em "Exibir objeto gráfico" para visualizar a superfície gerada pela função. 4. Para visualizar os pontos críticos, clique em "Adicionar objeto" e selecione "Pontos". 5. Digite as coordenadas dos pontos críticos na barra de entrada e clique em "Adicionar objeto". 6. Para visualizar os pontos extremos, clique em "Adicionar objeto" e selecione "Pontos". 7. Digite as coordenadas dos pontos extremos na barra de entrada e clique em "Adicionar objeto". 8. Para melhorar a visualização, é possível ajustar a escala dos eixos e a posição da câmera.