3- Diagonalize por matriz ortogonal as matrizes a seguir: a) , cujo polinômio característico é . b) , cujo polinômio característico é .

a) Para diagonalizar a matriz A, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. O polinômio característico de A é λ² - 5λ + 6, que tem raízes λ1 = 2 e λ2 = 3. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 2, temos: (A - 2I)v = 0 [1 -2; 2 -3][x; y] = [0; 0] x - 2y = 0 2x - 3y = 0 A solução desse sistema é v1 = [2; 1]. Para λ2 = 3, temos: (A - 3I)v = 0 [1 -2; 2 -3][x; y] = [0; 0] x - 2y = 0 2x - 4y = 0 A solução desse sistema é v2 = [2; 1]. Note que v1 e v2 são linearmente independentes, portanto formam uma base ortonormal de autovetores de A. Para encontrar a matriz ortogonal P que diagonaliza A, basta colocar os autovetores como colunas de P: P = [v1 v2] = [2 2; 1 1] A matriz diagonalizada D é dada por: D = P^(-1)AP = [1 0; 0 3] b) O polinômio característico de B é λ² - 2λ + 2, que não tem raízes reais. Portanto, os autovalores de B são complexos conjugados. Sejam eles λ1 = a + bi e λ2 = a - bi, onde a e b são números reais. Como B é uma matriz real, seus autovetores correspondentes a λ1 e λ2 também são complexos conjugados. Seja v = x + yi um autovetor correspondente a λ1. Temos: (B - λ1I)v = 0 [1 -1; 1 1][x; y] = [(a + bi)(x + yi); 0] (x - y) + (x + y)i = (a + bi)(x + yi) x - y = ax - by x + y = bx + ay Resolvendo esse sistema, encontramos que x = y = 0, o que não é possível, pois v deve ser um vetor não nulo. Portanto, B não é diagonalizável por matriz ortogonal.