1. Seja f(x) = 1/x - x^3, x > 0. (a) Mostre que f tem inversa em (0,∞); (b) Calcule f−1(0) e (f−1)'(0); (c) Determine a equação da reta tangente ao...

(a) Para mostrar que f tem inversa em (0,∞), precisamos mostrar que f é injetora e sobrejetora em (0,∞). Para mostrar que f é injetora, suponha que f(x1) = f(x2) para x1, x2 > 0. Então, temos: 1/x1 - x1^3 = 1/x2 - x2^3 Multiplicando ambos os lados por x1x2(x1 + x2), obtemos: x2(x1 + x2) - x1^4(x1 + x2) = x1(x1 + x2) - x2^4(x1 + x2) Simplificando, temos: x1x2(x1^2 + x1x2 + x2^2 - x1^2 - x2^2 - x1x2) = 0 Como x1 e x2 são positivos, temos x1^2 + x1x2 + x2^2 > x1^2 + x2^2 + x1x2, o que implica que x1^2 + x1x2 + x2^2 - x1^2 - x2^2 - x1x2 ≠ 0. Portanto, x1 = x2, o que mostra que f é injetora. Para mostrar que f é sobrejetora, precisamos mostrar que para todo y em (0,∞), existe um x em (0,∞) tal que f(x) = y. Para isso, observe que: lim x→0+ f(x) = +∞ e lim x→+∞ f(x) = -∞ Além disso, f é contínua em (0,∞), pois é uma combinação de funções contínuas. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, f assume todos os valores entre -∞ e +∞ em (0,∞), o que mostra que f é sobrejetora. Assim, concluímos que f tem inversa em (0,∞). (b) Para calcular f−1(0), precisamos encontrar o valor de x em (0,∞) tal que f(x) = 0. Temos: 1/x - x^3 = 0 Multiplicando ambos os lados por x^3, obtemos: 1 - x^6 = 0 Portanto, x^6 = 1, o que implica que x = 1. Assim, f−1(0) = 1. Para calcular (f−1)'(0), usamos a fórmula: (f−1)'(y) = 1/f'(f−1(y)) Substituindo y = 0 e f−1(y) = 1, temos: (f−1)'(0) = 1/f'(1) Para calcular f'(x), usamos a regra do quociente: f'(x) = -1/x^2 - 3x^2 Substituindo x = 1, temos: f'(1) = -1 - 3 = -4 Portanto, (f−1)'(0) = -1/-4 = 1/4. (c) Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f−1 no ponto (0, f−1(0)), precisamos calcular a derivada de f−1 e avaliá-la em x = 1. Temos: f(f−1(x)) = x Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos: f'(f−1(x)) (f−1)'(x) = 1 Substituindo x = 0 e f−1(x) = 1, temos: f'(1) (f−1)'(0) = 1 Substituindo f'(1) e (f−1)'(0), temos: -4 (f−1)'(0) = 1 Resolvendo para (f−1)'(0), obtemos: (f−1)'(0) = -1/4 Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f−1 no ponto (0, f−1(0)) é: y - f−1(0) = (f−1)'(0) (x - 0) y - 1 = -1/4 x y = -1/4 x + 1