(2,0 pontos) Calcule o comprimento de arco ao longo do gráfico da função y = √ R2 − x2 entre x = −R/3 e x = R/3.

Para calcular o comprimento de arco ao longo do gráfico da função y = √ R2 − x2 entre x = −R/3 e x = R/3, podemos utilizar a fórmula: L = ∫a^b √(1 + [f'(x)]^2) dx Onde a e b são os limites de integração, f(x) é a função dada e f'(x) é a sua derivada. Nesse caso, temos: f(x) = √ R2 − x2 f'(x) = -x/√ R2 − x2 Substituindo na fórmula, temos: L = ∫-R/3^R/3 √(1 + [(-x/√ R2 − x2)]^2) dx L = ∫-R/3^R/3 √(1 + x2/(R2 - x2)) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = R sen(t), temos: L = ∫-π/6^π/6 R √(1 + cos^2(t)) dt L = R ∫-π/6^π/6 √(1 + cos^2(t)) dt Podemos utilizar a identidade trigonométrica 1 + cos^2(t) = sec^2(t) para simplificar a integral: L = R ∫-π/6^π/6 sec(t) dt L = R [ln|sec(t) + tan(t)|] -π/6^π/6 Substituindo os limites de integração, temos: L = R [ln(2 + √3) - ln(2 - √3)] L = R ln(5 + 2√3) Portanto, o comprimento de arco ao longo do gráfico da função y = √ R2 − x2 entre x = −R/3 e x = R/3 é R ln(5 + 2√3).