Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ tg5 x sec5 x dx, (b) ∫ ln x x1/4 dx, (c) ∫ 2x2 + 2x− 3 (x− 1)(x− 2)2 dx. (a) (b) (...

(a) Para calcular a integral ∫tg^5(x)sec^5(x)dx, podemos fazer a substituição u = sec(x), du = sec(x)tan(x)dx. Então, a integral se torna: ∫tg^5(x)sec^5(x)dx = ∫tg^4(x)sec^4(x)tg(x)sec(x)dx = ∫(u^2 - 1)^2/u^5 du Podemos expandir o quadrado e simplificar para obter: ∫(u^4 - 2u^2 + 1)/u^5 du = ∫u^-3 - 2u^-1 + u^-5 du = -u^-2 - 2ln|u| + (-1/4)u^-4 + C Substituindo de volta u = sec(x), temos: ∫tg^5(x)sec^5(x)dx = -cos(x)^-2 - 2ln|sec(x)| - (1/4)cos(x)^-4 + C (b) Para calcular a integral ∫ln(x)/x^(1/4)dx, podemos fazer a substituição u = x^(1/4), du = (1/4)x^(-3/4)dx. Então, a integral se torna: ∫ln(x)/x^(1/4)dx = 4∫ln(u)du Integrando por partes com u = ln(u) e dv = 4du, temos: ∫ln(u)du = u ln(u) - ∫du = x^(1/4)ln(x^(1/4)) - x^(1/4) + C Substituindo de volta u = x^(1/4), temos: ∫ln(x)/x^(1/4)dx = 4x^(1/4)ln(x^(1/4)) - 4x^(1/4) + C (c) Para calcular a integral ∫(2x^2 + 2x - 3)/(x-1)(x-2)^2 dx, podemos usar a decomposição em frações parciais. Primeiro, escrevemos: (2x^2 + 2x - 3)/(x-1)(x-2)^2 = A/(x-1) + B/(x-2) + C/(x-2)^2 Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)^2, temos: 2x^2 + 2x - 3 = A(x-2)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-1) Substituindo x = 1, obtemos: -1 = 9A Então, A = -1/9. Substituindo x = 2, obtemos: 5 = C Substituindo esses valores na equação original, obtemos: (2x^2 + 2x - 3)/(x-1)(x-2)^2 = -1/(9(x-1)) + B/(x-2) + 5/(x-2)^2 Multiplicando ambos os lados por dx e integrando, temos: ∫(2x^2 + 2x - 3)/(x-1)(x-2)^2 dx = -1/9 ln|x-1| + B ln|x-2| - 5/(x-2) + D Para encontrar o valor de B, podemos fazer a substituição x = 0 e usar o fato de que a integral é finita em x = 0: -3/2 = -1/9 ln|-1| + B ln|2| - 5/2 Simplificando, temos: B = -1/18 Substituindo de volta na equação, temos: ∫(2x^2 + 2x - 3)/(x-1)(x-2)^2 dx = -1/9 ln|x-1| - (1/18) ln|x-2| - 5/(x-2) + D