Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ x cos2 (2x) dx, (b) ∫ 2x+ 3 x2 + 2x+ 2 dx. (a) ∫ x cos2 (2x) dx (b) ∫ 2x+ 3 x2 + 2...

(a) Para calcular a integral ∫x cos²(2x) dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = x e dv = cos²(2x) dx, temos du = dx e v = (1/4)sen(4x). Então: ∫x cos²(2x) dx = x(1/4)sen(4x) - ∫(1/4)sen(4x) dx ∫x cos²(2x) dx = x(1/4)sen(4x) + (1/16)cos(4x) + C Portanto, a resposta é x(1/4)sen(4x) + (1/16)cos(4x) + C. (b) Para calcular a integral ∫(2x+3)/(x²+2x+2) dx, podemos completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição trigonométrica. Primeiro, completamos o quadrado: x² + 2x + 2 = (x+1)² + 1 Fazendo a substituição x+1 = tan(t), temos dx = sec²(t) dt e: ∫(2x+3)/(x²+2x+2) dx = ∫(2tan(t)+5)/(tan²(t)+1) sec²(t) dt ∫(2x+3)/(x²+2x+2) dx = 2∫tan(t)sec²(t) dt + 5∫sec²(t) dt ∫(2x+3)/(x²+2x+2) dx = 2ln|sec(t)+tan(t)| + 5tan(t) + C Substituindo de volta para x, temos: ∫(2x+3)/(x²+2x+2) dx = 2ln|√(x²+2x+2)+x+1| + 5√(x²+2x+2) + C Portanto, a resposta é 2ln|√(x²+2x+2)+x+1| + 5√(x²+2x+2) + C.