MA111 Prova 2 Q2. (2 pontos) Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos. (a) lim x→∞ x3e−x2 (b) lim x→0 ex − 1− x x2 Solução:...
Q2. (2 pontos) Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos.
(a) lim
x→∞
x3e−x2
(b) lim
x→0
ex − 1− x
x2
Solução:
a) lim
x→∞
x3e−x2
= “∞ · 0”✓
Podemos colocar o fator exponencial no denominador, escrevendo
lim
x→∞
x3e−x2
= lim
x→∞
x3
ex2✓ = “∞
∞
”✓.
Aplicando L’Hospital, obtemos
lim
x→∞
x3
ex2
L’H
= lim
x→∞
3x2✓
ex2 · 2x✓
=
3
2
lim
x→∞
x
ex2✓ = “∞
∞
”✓.
Aplicando novamente L’Hospital, obtemos
3
2
lim
x→∞
x
ex2
L’H
=
3
2
lim
x→∞
1
ex2 · 2x
✓ = “ 1
∞ ·∞
”✓=0✓.
b) lim
x→0
ex − 1− x
x2
= “0
0
”✓.
Aplicando L’Hospital, obtemos
lim
x→0
ex − 1− x
x2
L’H
= lim
x→0
ex − 0− 1✓
2x✓
=
1
2
lim
x→0
ex − 1
x
✓ = “0
0
”✓.
Aplicando novamente L’Hospital, obtemos
1
2
lim
x→0
ex − 1
x
L’H
=
1
2
lim
x→0
ex︸ ︷︷ ︸
=1✓
✓ =
1
2
✓
[object Object]
[object Object]
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💡 1 Resposta
Ed 
Para calcular os limites dados, podemos utilizar a regra de L'Hôpital. (a) lim x→∞ x³e^(-x²) = "∞ · 0" ✓ Podemos colocar o fator exponencial no denominador, escrevendo: lim x→∞ x³e^(-x²) = lim x→∞ x³ / e^(x²) ✓ = "∞ / ∞" ✓ Aplicando L'Hôpital, obtemos: lim x→∞ x³ / e^(x²) = lim x→∞ 3x² / 2xe^(x²) ✓ = "∞ / ∞" ✓ Aplicando L'Hôpital novamente, obtemos: lim x→∞ 3x² / 2xe^(x²) = lim x→∞ 6x / 4xe^(x²) ✓ = "∞ / ∞" ✓ Simplificando, temos: lim x→∞ 6x / 4xe^(x²) = lim x→∞ 3 / 2e^(x²) ✓ = 0 ✓ (b) lim x→0 (e^x - 1 - x) / x² = "0 / 0" ✓ Aplicando L'Hôpital, obtemos: lim x→0 (e^x - 1 - x) / x² = lim x→0 e^x - 1 / 2x ✓ = "0 / 0" ✓ Aplicando L'Hôpital novamente, obtemos: lim x→0 e^x - 1 / 2x = lim x→0 e^x / 2 ✓ = 1 / 2 ✓ Portanto, as respostas são: (a) lim x→∞ x³e^(-x²) = 0 (b) lim x→0 (e^x - 1 - x) / x² = 1 / 2
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