MA111 Prova 1 Q3. (2 pontos) Seja k ∈ R e considere a função f(x) = { x+ 1, x ≤ 0, k − x2, x > 0. (a) Determine um valor de k para o qual a fu...

MA111 Prova 1

Q3. (2 pontos) Seja k ∈ R e considere a função

f(x) =
{
x+ 1, x ≤ 0,
k − x2, x > 0.

(a) Determine um valor de k para o qual a função f(x) seja cont́ınua.

(b) Para o valor de k encontrado em (a), existe o limite lim
x→0

f(x)− f(0)

x− 0

?

Solução:

(a) (1,4 pontos) Para x ̸= 0, a função é cont́ınua. Em x = 0, temos:

• f(0) = 1

• limx→0− f(x) = limx→0−(x+ 1) = 1

• limx→0+ f(x) = limx→0+(k − x2) = k

Logo, a função será cont́ınua se, e só se, k = 1.

Sugestão de grade de correção:

• 0,2 pelo cálculo de f(0)

• 0,4 por cada limite lateral

• 0,4 pela conclusão

(b) (0,6 pontos) Para k = 1 temos

f(x) =
{
x+ 1, x ≤ 0,
1− x2, x > 0.

Temos:

lim
x→0−

f(x)− f(0)

x− 0
= lim

x→0−

(x+ 1)− 1

x− 0
= 1

lim
x→0+

f(x)− f(0)

x− 0
= lim

x→0+

(1− x2)− 1

x− 0
= 0

Portanto, o limite não existe.

Sugestão de grade de correção:

• 0,3 para cada limite calculado corretamente

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