Determine, se existirem, os números reais m, b, tais que a função seguinte seja derivável em 0: f(x) = { e− 1 x2 , x < 0 mx+ b, x ≥ 0 Dica: s...

Determine, se existirem, os números reais m, b, tais que a função seguinte seja derivável em 0:

f(x) =
{
e−
1
x2 , x < 0
mx+ b, x ≥ 0

Dica: se for conveniente, pode usar que limx→0+
e
1
x2
x = 0.

Existe a derivada em 0 se e somente se existem e são iguais

lim
x→0−
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0+
f(x)− f(0)
x
.

Observe, primeiro, que se f é derivável em 0, então f é cont́ınua em 0, donde

lim
x→0−
e−
1
x2 − 1 = lim
x→0+
mx+ b.

O limite do lado esquerdo é 0− 1 = −1 e o do lado direito é b, logo b = −1.

Como b = −1, então f(0) = m · 0− 1 = −1, logo a derivada de f em 0 existe se e somente se

lim
x→0−
e−
1
x2 − 1− (−1)
x
= lim
x→0−
e−
1
x2
x
= lim
x→0+
mx
x
= m.

Pela dica, limx→0+
e−
1
x2
x = 0 e como e−
1
x2
x é ı́mpar temos também limx→0−
e
1
x2
x = 0.

Portanto, m = 0, b = −1.