1. Mostre que N! = ∫∞0 xNe−Ndx. (1) Dica: use uma sequência de integrações por parte.

É necessário mostrar que a integral ∫∞0 xNe−Ndx é igual a...

Question

1. Mostre que N! = ∫∞0 xNe−Ndx. (1) Dica: use uma sequência de integrações por parte.É necessário mostrar que a integral ∫∞0 xNe−Ndx é igual a N!.

Ed · Answer

Para mostrar que N! = ∫∞0 xNe−Ndx, podemos usar integração por partes. Primeiro, vamos escrever a integral como:

∫∞0 xNe−Ndx = [-xNe−N / N]∞0 + (N / N) ∫∞0 xN−1e−Ndx

O primeiro termo se anula em 0 e tende a 0 quando x tende ao infinito. O segundo termo pode ser reescrito como:

(N / N) ∫∞0 xN−1e−Ndx = ∫∞0 xN−1e−N+ln(x)dx

Agora, podemos usar integração por partes novamente, com u = ln(x) e dv = xN−1e−Ndx. Então, du = dx / x e v = −e−N.

Assim, temos:

∫∞0 xN−1e−N+ln(x)dx = [−xN−1e−N+∫∞0 (N−1)xN−2e−N+ln(x)dx]

Podemos repetir esse processo até que a integral se torne:

N! = ∫∞0 x0e−Ndx = ∫∞0 e−Ndx = [−e−N]∞0 = 1

Portanto, mostramos que N! = ∫∞0 xNe−Ndx.

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