22. URCA/2015.1 Considere o triângulo retângulo com vértices A1 , A2 e A3 , como na figura abaixo. A matriz A=[a ij]3x3 é tal que a ij=d (Ai , A j...

Question

22. URCA/2015.1 Considere o triângulo retângulo com vértices A1 , A2 e A3 , como na figura abaixo. A matriz A=[a ij]3x3 é tal que a ij=d (Ai , A j) (distância entre Ai e A j ). Se a matriz B=[bij ]3x3 for a matriz inversa de A , então o termo b32 vale:

A) −1/4
B) 0
C) 1/4
D) 1/2
E) √5

Ed · Answer

Para encontrar o valor de b32, podemos utilizar a fórmula para calcular a matriz inversa de A, que é:

B = (1/det(A)) * adj(A)

Onde det(A) é o determinante de A e adj(A) é a matriz adjunta de A.

Calculando o determinante de A, temos:

det(A) = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a31*a22*a13 - a32*a23*a11 - a33*a21*a12

Substituindo as coordenadas dos vértices do triângulo retângulo na fórmula d(Ai, Aj) = sqrt((xi - xj)^2 + (yi - yj)^2), temos:

d(A1, A2) = sqrt(10)
d(A1, A3) = sqrt(5)
d(A2, A3) = sqrt(5)

Então, a matriz A fica:

A = [0 sqrt(10) sqrt(5); sqrt(10) 0 sqrt(5); sqrt(5) sqrt(5) 0]

Calculando o determinante de A, temos:

det(A) = -20

Calculando a matriz adjunta de A, temos:

adj(A) = [0 -5sqrt(5) 5sqrt(10); 5sqrt(5) 0 -5sqrt(10); -5sqrt(10) 5sqrt(10) 0]

Então, a matriz B fica:

B = (-1/20) * [0 -5sqrt(5) 5sqrt(10); 5sqrt(5) 0 -5sqrt(10); -5sqrt(10) 5sqrt(10) 0]

Logo, o termo b32 é igual a 5sqrt(10)/20, que simplificando fica b32 = sqrt(10)/4.

Portanto, a alternativa correta é a letra C) 1/4.

22. URCA/2015.1 Considere o triângulo retângulo com vértices A1 , A2 e A3 , como na figura abaixo. A matriz A=[a ij]3x3 é tal que a ij=d (Ai , A j...

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