Considere o sistema causal linear invariante no tempo inicialmente relaxado representado pela seguinte equação diferencial de segunda ordem para t ...

A equação diferencial de segunda ordem que representa o sistema causal linear invariante no tempo inicialmente relaxado é dada por: y''(t) + ay'(t) + Ky(t) = x(t) Para encontrar a função de transferência H(s) do sistema, podemos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, considerando as condições iniciais nulas: L{y''(t)} + aL{y'(t)} + KL{y(t)} = L{x(t)} s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + a(sY(s) - y(0)) + K(Y(s)) = X(s) s^2Y(s) + asY(s) + KY(s) = X(s) + sy(0) + y'(0) + ay(0) Y(s) = H(s)X(s) H(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s^2 + as + K) Para que o sistema seja estável BIBO (bounded-input bounded-output), é necessário que todos os polos da função de transferência estejam no semiplano esquerdo do plano complexo. Portanto, os polos devem ter parte real negativa. Os polos da função de transferência são dados pelas raízes da equação característica: s^2 + as + K = 0 As raízes são dadas por: s = (-a ± sqrt(a^2 - 4K))/2 Para que os polos tenham parte real negativa, é necessário que a^2 - 4K > 0, ou seja, K < a^2/4. Portanto, o sistema é estável BIBO para valores de K menores que a^2/4.