Sistemas Linear Discreto Invariante no Tempo - resumo 2

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Sistemas LDIT – Linear Discreto Invariante no Tempo 
 
Q[E] y[n] = P[E] x[n] 
Sendo: 
 
 
Resposta a Entrada Nula 
x[n] = 0 – entrada é nula 
y[n] = y0[n] resposta a entrada nula 
 
 
A equação característica com raízes repetidas apresenta o seguinte formato: 
 
r é a multiplicidade: são r raízes iguais e ao todo são N raízes 
 são as raízes da equação característica (N raízes). 
A resposta à entrada nula terá o formato: 
 
Usa-se as condições iniciais para determinar as constantes CI, C2, C3, ... Cn 
Equação característica com raízes complexas: 
As raízes complexas aparecem na forma de pares complexos conjugados se os coeficientes da 
equação do sistema forem reais. 
As raízes complexas podem ser tratadas da mesma forma que se trata as raízes reais, usando os 
mesmos equacionamentos. Ou então pode ser usada a forma real da solução: 
Inicialmente as raízes complexas são colocadas na forma polar com o seu módulo e ângulo. 
E como as raízes são conjugadas: 
 Beta é o ângulo de gama(radianos). 
A resposta a entrada nula na forma polar: 
 
 
 
 
Para este tipo de sistema os coeficientes C1 e C2 também serão pares complexos conjugados. 
 
Portanto a resposta a entrada nula pode ser colocada na forma: 
 
 
A equação abaixo é a solução na forma real (domínio real) obtida a partir das raízes complexas. 
 
Exemplo: Obter a resposta de entrada nula para o sistema descrito pela equação: 
 
Condições iniciais: y[-1] = 2; y[-2] = 1 Sinal de entrada: x[n] = 0 
 
Equação característica: 
Raízes: 
Solução considerando as raízes complexas: 
 
Cálculo de C1 e C2 
n = -1: 
n = -2: 
 
 
A solução pode ser obtida usando determinantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resposta usando a forma complexa será: 
 
Somando as exponenciais de cada termo e transformando em cos(): 
 
 
 
 
Solução considerando a forma real cos(): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definindo: tem-se: 
 
Portanto: 
 
Substituindo tem-se a expressão da solução na forma real: