14. Provar que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então ( ) 1111 −−−− = ABCABC .

Para provar que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então (ABC)^-1 = A^-1 * B^-1 * C^-1, podemos seguir os seguintes passos: 1. Sabemos que A, B e C são matrizes inversíveis, então A * A^-1 = I, B * B^-1 = I e C * C^-1 = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. 2. Vamos multiplicar ambos os lados da equação (ABC)^-1 = A^-1 * B^-1 * C^-1 por ABC, assim temos: (ABC)^-1 * ABC = A^-1 * B^-1 * C^-1 * ABC 3. Simplificando o lado esquerdo da equação, temos: I = A^-1 * (B^-1 * C^-1) * A * B * C 4. Sabemos que (B^-1 * C^-1) é uma matriz inversível, pois o produto de matrizes inversíveis é inversível. Então, podemos escrever: I = A^-1 * I * A * B * C 5. Novamente, simplificando o lado esquerdo da equação, temos: I = A^-1 * A * B * C 6. Como A * A^-1 = I, podemos substituir na equação acima: I = B * C 7. Sabemos que B e C são matrizes inversíveis, então B * C também é inversível e sua inversa é (B * C)^-1 = C^-1 * B^-1. 8. Multiplicando ambos os lados da equação I = B * C por (C^-1 * B^-1), temos: (C^-1 * B^-1) * I * (C^-1 * B^-1) = C^-1 * B^-1 * B * C * C^-1 * B^-1 9. Simplificando o lado direito da equação, temos: (C^-1 * B^-1) * I * (C^-1 * B^-1) = C^-1 * I * B^-1 10. Sabemos que C^-1 * I = C^-1 e I * B^-1 = B^-1, então podemos escrever: (C^-1 * B^-1) * I * (C^-1 * B^-1) = C^-1 * B^-1 11. Como (C^-1 * B^-1) é a inversa de B * C, temos que (B * C)^-1 = C^-1 * B^-1, que é o que queríamos provar. Portanto, concluímos que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então (ABC)^-1 = A^-1 * B^-1 * C^-1.