Suponha que seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição , leva a uma equação separável.

Para mostrar que a substituição y = vx leva a uma equação separável, precisamos primeiro verificar que a equação diferencial é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos da equação têm a mesma potência de x e y. Ou seja, se a equação é da forma: F(x,y,y') = 0 Então, para verificar se é homogênea, substituímos y = vx e y' = v'x + v e simplificamos a equação. Se a equação resultante contiver apenas termos com potências iguais de x e v, então a equação é homogênea. Suponha que a equação diferencial seja da forma: y' = f(x,y) Substituindo y = vx, temos: y' = v + x v' Substituindo y' e y na equação original, temos: v + x v' = f(x, vx) Isso pode ser reescrito como: v' = (1/x) [f(x, vx) - v] Agora, podemos separar as variáveis v e x, obtendo: (1/[f(x, vx) - v]) dv = (1/x) dx Integrando ambos os lados, obtemos: ln|f(x, vx) - v| = ln|x| + C Onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados, obtemos: f(x, vx) - v = Cx Que é uma equação separável. Portanto, a substituição y = vx leva a uma equação separável.