Se, em um tetraedro, três das faces que possuem um vértice comum V, são limitadas por triângulos retângulos e as medidas das arestas da face oposta...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades dos tetraedros. Primeiro, vamos nomear as arestas da face oposta ao vértice V como a, b e c, respectivamente. Como as faces que possuem o vértice V em comum são triângulos retângulos, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas das arestas a, b e c: a² = 10² + 12² = 244 b² = 8² + 12² = 208 c² = 8² + 10² = 164 Agora, vamos utilizar a propriedade de que a soma dos quadrados das áreas das faces opostas de um tetraedro é igual ao quadrado da área da face que as une. Assim, temos: a² + b² + c² = x² Onde x é a medida da aresta oposta à face que une as outras três. Podemos encontrar x resolvendo a equação acima: x² = 244 + 208 + 164 x² = 616 x = √616 x = 2√154 Agora, precisamos encontrar as medidas das outras três arestas. Para isso, vamos utilizar a propriedade de que a soma das áreas das faces que se encontram em um vértice de um tetraedro é igual à área da base desse tetraedro. Assim, temos: área da base = (1/2) * 8 * 10 = 40 Agora, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo para encontrar a área de cada uma das três faces que se encontram em V: área = (1/2) * base * altura Como as bases desses triângulos são as arestas a, b e c, respectivamente, precisamos encontrar as alturas correspondentes. Para encontrar a altura relativa à aresta a, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo retângulo que tem a como hipotenusa: área = (1/2) * a * h 40 = (1/2) * 10 * h h = 8 Assim, a altura relativa à aresta a é 8. Da mesma forma, podemos encontrar as alturas relativas às arestas b e c: altura relativa à aresta b = 6 altura relativa à aresta c = 4 Agora, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo para encontrar as áreas das faces que se encontram em V: área da face oposta a a = (1/2) * b * c = 48 área da face oposta a b = (1/2) * a * c = 32 área da face oposta a c = (1/2) * a * b = 40 A soma dessas áreas é igual à área da base, como esperado. Agora, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo para encontrar as medidas das outras três arestas: área = (1/2) * base * altura Para a aresta oposta a a: área = (1/2) * x * 8 48 = (1/2) * x * 8 x = 12 Para a aresta oposta a b: área = (1/2) * x * 6 32 = (1/2) * x * 6 x = 10.67 Para a aresta oposta a c: área = (1/2) * x * 4 40 = (1/2) * x * 4 x = 10 Portanto, as medidas das outras três arestas são 12 cm, 10.67 cm e 10 cm, respectivamente. A alternativa correta é a letra A) 63, 10, 103.